CU. IV. — LE NOMBRE INFINI

préfère, on peut en inventer un autre); mais on ne peut pas dire, inversement, que tout nombre ordinal soit précédé immédiatement d'un autre : car cela n'est pas vrai du nombre 1, le premier de tous. Il n'est donc pas permis d'ériger en loi générale ce fait que presque tous les nombres entiers en suivent immédiatement un autre, ni d'en faire une condition nécessaire et absolue de l'existence idéale de tous les nombres entiers : ce serait contradictoire. On ne peut donc pas affirmer que, si le nombre infini existe, il doit se trouver dans la suite naturelle des nombres, et suivre immédiatement un autre nombre, fini par hypothèse. Au contraire, rien n'empêche d'imaginer un nouveau nombre entier, qu'on désignera, avec M. Cantor ', par <o, et de le poser à part, comme point de départ d'une nouvelle suite de nombres infinis ou « transfinis », de même qu'on a posé auparavant le nombre 1 comme point de départ de la suite dite naturelle. Enfin, il est loisible de considérer ce nombre c» comme postérieur à tous les nombres de la suite naturelle, de même que l'on pose le nombre 4 immédiatement après le nombre 3. Dans tout cela il n'y a, au point de vue de la théorie empiriste, que des conventions aussi légitimes qu'arbitraires : aussi légitimes que celles d'où résulte la suite naturelle des nombres, mais non plus arbitraires. Sans doute, <o n'est qu'un signe, et « nombre infini » n'est qu'un mot; mais, dans cette théorie, 1, 2, 3,... ne sont que des signes, et un, deux, trois,... que des mots. Et si l'on nous demande pourquoi nous appelons nombres infinis le nombre w et tous ceux qui le suivent, nous répondrons que c'est uniquement pour distinguer la nouvelle suite de l'ancienne, dite suite naturelle des nombres entiers finis; les termes « fini » et « infini » n'auront pas d'autre sens: ce sont là de simples définitions de mots. Rien n'empêche donc, même au point de vue formaliste, de définir et de poser des nombres infinis après tous les nombres finis.

17. Toutefois, cette création de nombres transfinis prend une tout autre valeur dans la théorie rationaliste du nombre, que nous avons adoptée et soutenue. Au lieu d'être, comme dans la théorie empiriste, une invention gratuite de signes (au même titre, du reste, que la suite naturelle des nombres ordinaux), elle se justifie, dans la théorie rationaliste, par des motifs analogues à ceux qui expliquent la formation des nombres cardinaux, et y trouve vraiment sa raison