Voir Note IV, § IV

d'être. En effet, tandis que, dans la théorie empiriste, un signe numérique quelconque n'a de sens que par le rang immuable qu'il occupe dans la suite régulière des nombres, et de valeur que dans l'ordre conventionnel qui les enchaîne les uns aux autres; dans la théorie rationaliste, -au contraire, le nombre cardinal est antérieur au nombre ordinal, et il est, en principe, indépendant de toute idée d'ordre. L'ordre dit « naturel » des nombres entiers découle de leurs propriétés additives et de leur inégalité : la suite naturelle des nombres est la suite des nombres cardinaux croissants [m, 12]. Or, ainsi que nous avons eu soin de le remarquer [p. 345, note 1], il n'est nullement évident ni certain, a priori, que la loi de formation des nombres entiers, consistant dans l'addition progressive de l'unité, suffise à obtenir tous les nombres cardinaux. En effet, chaque nombre cardinal existe indépendamment des autres nombres, et notamment des nombres plus petits qui le précèdent dans la suite naturelle; il peut et doit être conçu sans le secours de ces nombres antérieurement formés, et l'on ne peut même construire ce nombre par addition d'unités qu'au moyen de son idée préalablement conçue [m, 11]. 11 n'y a donc aucune nécessité à ce que tout nombre soit la somme d'un autre nombre et de l'unité, et l'on peut, sans contradiction, concevoir des nombres qui ne puissent être obtenus par aucune addition d'unités & l'un des nombres finis. Par conséquent, il se peut qu'il y ait d'autres nombres que ceux de la suite naturelle, c'està-dire, qu'il existe des collections qu'aucun nombre fini ne puisse dénombrer '.

Or cela est non seulement possible, mais certain : car il existe au moins une collection qu'aucun nombre fini ne peut dénombrer, et c'est précisément la suite naturelle des nombres finis eux-mêmes. En effet, pour que cette suite eût un nombre fini, il faudrait qu'elle contînt un nombre qui fût le dernier de tous, et ce nombre serait 1 nombre cardinal des nombres entiers finis; mais puisqu' « après chaque nombre entier il y en a un autre », aucun nombre fini ne peut dénombrer la multitude des nombres finis. Il y a donc lieu d'admettre un nombre infini, et d'inventer un nouveau signe (ta) pour représenter le nombre cardinal de tous les nombres entiers finis1.

1. Il est bon de remarquer que M. Dedekind, qui n'admet pas de nombres inlinis [v. Ch. i, 9, Remarqué], reconnaît et m£me démontre (?) l'existence d'ensembles infinis (Was sind und was sollen die Zahlen, § 5, 06).

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