LIVRE II

On donne souvent du nombre une définition bien différente de celles que nous avons examinées dans le Livre précédent : beaucoup d'auteurs ont défini le nombre comme le résultat ou l'expression de la mesure d'une grandeur *. Bien que nous soyons loin d'adopter une définition de ce genre, il est indéniable que cette formule met en relief un rôle très important du nombre, et qu'elle semble se prêter à la généralisation de l'idée de nombre mieux que notre définition, qui ne s'applique qu'au nombre entier cardinal. Toutefois, ce dernier avantage est bien illusoire, car si l'idée de mesure permet de justifier la création des nombres rationnels et irrationnels, elle n'intervient pas dans l'invention des nombres négatifs et imaginaires; elle ne permet donc pas de sortir de l'ensemble des nombres arithmétiques, et de lui conférer toute l'extension dont il est susceptible *. La seule considération qui permette de justifier toutes les formes du nombre généralisé est celle de l'application des nombres aux grandeurs ou de la représentation des grandeurs par les nombres, que nous avons employée dans la première Partie [Livre III]; elle repose sur l'idée générale de correspondance, qui paratt être une notion fondamentale dans toutes les branches de la Mathématique, aussi bien en Analyse qu'en Géométrie *. Cette idée, que nous avons retrouvée à l'origine du nombre cardinal, fournit donc seule une base suffisamment large à la généralisation de l'idée de nombre,

1. Voir par exemple Marchand, La science du nombre (Louvain, 1888).