CU. I. — DE LA MESURE DES GRANDEURS

8. Mais si Ton ne peut définir, à proprement parler, ni l'égalité en général, ni l'égalité de chaque espèce de grandeurs, on peut et Ton doit les caractériser par les conditions extérieures et observables qui se déduisent de leur idée. Dès qu'on possède l'idée d'une espèce de grandeurs, on a nécessairement l'idée de l'égalité de deux grandeurs de cette espèce, ou plutôt celle de l'identité d'une grandeur de cette espèce dans deux objets quelconques. C'est de la connaissance intuitive de cette idée que dérivent les caractères empiriques auxquels on reconnaîtra, dans le monde physique, l'égalité de ces grandeurs; car si l'égalité idéale ne peut être ni perçue ni observée, elle se manifeste par des phénomènes sensibles que Ton peut constater par expérience, et dont on peut la conclure, pourvu qu'on ait l'idée préconçue de cette égalité, sans laquelle ces phénomènes ne signifieraient rien et seraient inintelligibles. C'est ainsi, par exemple, qu'on pourra caractériser l'égalité de poids par l'égalité de l'inclinaison du fléau pour deux corps différents faisant équilibre à une même tare; l'égalité de température, par l'égalité de la dilatation d'un même corps thermométrique, etc. Comme on le voit, ces égalités physiques ont pour signe et pour critérium des égalités géométriques, ce qui ne veut pas dire qu'elles se réduisent effectivement à de telles égalités, que la température, par exemple, se réduise à un volume ou à une longueur, et que le poids se réduise à un angle, ce qui serait absurde. Mais, remarquons-le bien, cette absurdité même serait une conséquence naturelle des définitions adoptées pour l'égalité de ces espèces de grandeurs physiques, si l'on prétendait définir réellement ces diverses égalités et en donner l'idée, en indiquant les conditions empiriques auxquelles on devra les reconnaître.

9. Quant à l'égalité géométrique, on sait qu'elle se définit ou plutôt se caractérise par la possibilité d'une coïncidence. C'est donc, en dernier ressort, h la constatation de coïncidences que revient la mesure de toute espèce de grandeurs physiques et géométriques, c'est-à-dire, au fond, à l'identification de deux figures géométriques, car, au moment où deux figures coïncident entièrement, elles n'en font vraiment plus qu'une. Si, même dans l'état de coïncidence, on peut encore les distinguer, c'est par les qualités sensibles des corps qui les portent; mais en tant que figures géométriques, elles sont indiscernables. Sans doute, une coïncidence matérielle ne peut jamais être parfaite : la coïncidence géométrique est un idéal qui ne se réalise jamais complètement dans le monde sensible; mais c'est

une raison de plus pour lui reconnaître ce caractère idéal sur lequel nous insistons. Toutes les coïncidences que nous pouvons observer ne sont que des approximations grossières de ce type de coïncidence qu'implique et exige l'idée rationnelle d'égalité; aussi n'ont-elles de valeur qu'autant qu'elles se rapprochent de ce modèle parfait; celuici préexiste donc à toute coïncidence empirique, et ne peut être qu'une idée a priori.

D'ailleurs, lors même qu'on pourrait réaliser dans la nature des coïncidences absolues, et non de vagues superpositions qui imitent imparfaitement la coïncidence idéale, il ne s'ensuivrait pas que l'égalité soit donnée dans la perception, et qu'il n'y ait pour ainsi dire qu'à ouvrir les yeux pour la constater, bien plus, pour en acquérir l'idée; car, ainsi que nous venons de le dire, cette coïncidence n'existe qu'entre des attributs abstraits (et néanmoins précis et déterminés) d'objets concrets, de sorte que l'entendement seul peut apercevoir l'identité de la grandeur sous la diversité des formes matérielles. Une conscience purement empirique, un être réduit à ses sensations (si un tel être est concevable) n'aurait jamais, mis en présence de la superposition la plus exacte, l'idée rationnelle de l'égalité : le voile des apparences sensibles lui cacherait l'élément commun et identique dans les deux objets comparés; que dis-je? il n'aurait même pas l'idée de deux objets, et ne Songerait pas à les comparer. Lors même que les deux objets seraient aussi indiscernables aux sens qu'égaux sous le rapport de la grandeur abstraite, il ne s'apercevrait pas de leur égalité; et en admettant qu'on pût réaliser sous ses yeux leur parfaite coïncidence, il ne verrait plus qu'un seul et même objet, et ne penserait pas l'identité des deux objets confondus.

10. 11 en est de même, à plus forte raison, pour l'idée générale d'égalité, dont toutes les égalités particulières ne sont que des spécifications : elle est indéfinissable en soi, et il faut se contenter de la décrire et d'en noter les caractères essentiels. Ces caractères devront nécessairement se retrouver dans toutes les égalités spéciales, car autrement ce ne seraient pas des espèces d'égalité. Ils constituent donc les conditions générales auxquelles on devra reconnaître toute égalité, et serviront à définir l'égalité de chaque espèce de grandeurs, c'est-à-dire à trouver quels en Sont les caractères ou les signes sensibles. Ces conditions générales, que doit vérifier la définition mathématique ou physique de chaque égalité spéciale, déterminent,

pour chaque espèce de grandeurs, quelle relation mérite le nom légalité. Aussi suffisent-elles à caractériser, aux yeux des mathématiciens, l'égalité en général, et leur en tiennent Heu de définition.

L'énoncé de ces conditions que doit satisfaire une relation entre deux grandeurs de même espèce, pour être subsumée sous l'idée universelle et a priori d'égalité, constitue ce qu'on peut appeler les axiomes ou les postulats de l'égalité. Ce sont des axiomes pour nous, en tant que ces propositions se déduisent de l'idée rationnelle d'égalité, et ne font qu'en exprimer les propriétés; ce sont des postulats pour les mathématiciens, qui, n'ayant cure de cette idée métaphysique, cherchent simplement à quels caractères ils reconnaîtront l'égalité effective de chaque espèce de grandeurs, et commencent par poser ces conditions formelles à titre de conventions, en disant :

« Nous appellerons égalité, par définition, toute relation entre deux grandeurs de même espèce, qui vérifiera telles et telles conditions. »

Ils n'oublient qu'une chose : c'est que ces conventions en apparence arbitraires leur sont dictées par l'idée générale d'égalité que chacun porte en soi; mais, comme cette idée n'est pas susceptible de définition mathématique, ils la méconnaissent et croient s'en passer, alors que c'est elle qui leur impose la définition mathématique de toutes les égalités particulières. Cet oubli est bien excusable chez des savants, qui n'ont pas à scruter les principes métaphysiques de leur science : c'est aux philosophes qu'il appartient de le réparer.

11. Axiome I. — Le premier des axiomes de l'égalité * est celui que nous avons déjà énoncé [4] : « Deux grandeurs de même espèce doivent toujours être égales ou inégales ». C'est, on l'a vu, un corollaire du principe de contradiction, en tant qu'il s'applique à des grandeurs en général et à l'idée rationnelle d'égalité; c'est un postulat, en tant qu'il doit être vérifié par telle espèce particulière de

1. Nous empruntons l'énumération de ces axiomes fondamentaux à l'excellent Ouvrage, déjà souvent cité, de M. Stolz (Arithmétique générale, vol. I, chap. i et v). Nous nous sommes aussi constamment inspiré d'une leçon magistrale sur la Mesure des grandeurs, professée par M. J. Tanhery à l'École Normale Supérieure. — Cf. Riquier; des Axiomes mathématiques, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. III, p. 269; mai 1895 (article paru depuis que cet Ouvrage est écrit).

grandeurs, et par telle relation de fait entre deux grandeurs de cette espèce, par laquelle on veut définir leur égalité. Pour que cette relation puisse être appelée égalité, il faut qu'elle satisfasse cette condition toute formelle, à savoir qu'elle permette d'établir une disjonction complète entre les cas où elle a lieu et ceux où elle n'a pas lieu. En d'autres termes, il faut que l'égalité et l'inégalité d'une espèce de grandeurs soient définies de telle sorte, qu'il ne puisse jamais arriver, ni que deux grandeurs quelconques de cette espèce soient à la fois égales et inégales, ni qu'elles ne soient ni égales ni inégales. On voit, par cet exemple, dans quel sens les conditions formelles de la relation d'égalité sont des axiomes, et dans quel sens elles sont des postulats. Nous pourrons donc nous dispenser de répéter les mornes remarques au sujet des axiomes suivants.

12. Axiome II. — Le second axiome de la science des grandeurs énonce la réversibilité de la relation d'égalité f , et par suite aussi de la relation d'inégalité. Il découle naturellement de l'idée a priori de cette relation générale, qui est essentiellement commutative. C'est ce qui ressort d'ailleurs de l'énoncé même de l'axiome /, où les deux grandeurs comparées figurent symétriquement. Quand on dit que deux grandeurs A et B « sont égales », on veut dire à la fois que A est égale à B, et que B est égale à A, ce qui s'écrit :

Cet axiome devient un postulat pour toute relation que l'on voudra considérer comme une égalité : cette relation devra être réversible ou commutative. Plus exactement, cette condition formelle s'énonce ainsi : « Toutes les fois qu'on aura une grandeur A égale à la grandeur B, la grandeur B devra, inversement, être égale à la grandeur A. » Ce n'est plus alors un axiome analytique évident a priori; c'est une condition à vérifier dans chaque cas particulier. En effet, le mot « égal » n'a plus dans cette formule son sens réel ou plutôt rationnel; il désigne, d'une façon toute formelle, une relation de fait entre deux grandeurs de l'espèce considérée.

Les mêmes considérations s'appliquent à l'idée d'inégalité, qui, en vertu de Y axiome /, est la négation de l'idée d'égalité : si A n'est pas égale à B, B ne doit pas non plus être égale à A ; cette condition, qui résulte de la précédente, s'énonce :

i. Hklmholtz le déduit de notre axiome 111, ce qui nous semble un ordre peu rationnel, l'axiome de la réversibilité (loi commutative) de l'égalité étant plus simple et plus évident que V axiome III (voir p. 319, note 2).

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Si

on doit avoir :

13. Axiome III. — Le troisième axiome qui caractérise la relation d'égalité est le suivant ! : « Deux grandeurs égales à une même troisième sont égales entre elles. » Il résulte de ce que des grandeurs égales sont, au fond, identiques en tant que grandeurs, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut [7]. Cet axiome revient en somme à ceci : deux grandeurs concrètes, c'est-à-dire revêtues de qualités sensibles diverses, et pour ainsi dire incarnées en des corps différents, sont égales, ou plutôt ces deux corps sont égaux par rapport à l'espèce de grandeur considérée, si les deux grandeurs abstraites sont identiques en soi, dans leur idée.

En remontant ainsi à la source de cet axiome, on s'aperçoit qu'il n'est qu'un corollaire d'un axiome plus général, qui découle, lui aussi, de l'identité radicale et idéale des grandeurs dites égales, et qu'on peut énoncer comme suit : « Deux grandeurs égales peuvent se remplacer l'une l'autre dans toutes leurs relations *. » (Bien entendu, elles doivent figurer dans ces relations à titre de grandeurs de l'espèce considérée et sous le même rapport.)

En effet, si l'on applique en particulier cet axiome A à la relation d'égalité, on raisonnera comme suit :

Soit

une égalité donnée entre deux grandeurs. Supposons que l'on sache, d'autre part, que les grandeurs B et G sont égales; on pourra remplacer B par C dans l'égalité précédente ; donc on a aussi l'égalité

On retrouve ainsi Y axiome III, que Ton formule mathématiquement

comme suit :

Si

on doit avoir :