Premier axiome (I'Euclide

2. Pour abréger, nous désignerons dans la suite cet axiome par la lettre grecque A (délia).

11 importe de remarquer que les deux égalités données ne jouent pas le même rôle dans la déduction : Tune est proprement l'hypothèse, l'autre est une donnée auxiliaire. Si nous ne craignions d'établir une confusion entre la logique syllogistique et la logique mathématique, qui sont absolu ment distinctes et indépendantes Tune de l'autre, nous dirions que l'égalité

A = B est la majeure, et l'égalité

la mineure du raisonnement précédent. Mais on est prié de ne voir dans ces expressions qu'un rapprochement destiné à nous faire mieux comprendre, et de ne pas conclure d'une analogie superficielle et extérieure à une identité de nature entre le raisonnement logique et la déduction mathématique.

D'ailleurs, on peut indifféremment prendre pour majeure l'une ou l'autre des égalités données, par exemple celle-ci :

et en déduire, au moyen de la mineure :

A -- B, la même conclusion :

Mais il faut prendre garde que ce raisonnement, identique dans la forme au précédent, en est bien difîérent quant au sens : dans le premier, l'on remplaçait B par son égal C dans la relation :

Dans le second, au contraire, on substitue A à B dans la relation :

Cette distinction prend une grande importance logique dans l'Algèbre et dans l'Analyse, où l'on doit discerner avec soin les équations et les identités, celles-ci servant à transformer celles-là en d'autres équivalentes. Dans le cas présent, où nous supposons que les deux égalités données ont la même valeur (la même modalité, en langage technique), cette distinction est toute idéale; et la possibilité d'intrrvertir l'ordre et la signification des deux prémisses montre qu'elles concourent symétriquement à engendrer la conclusion, ce qui n'est pas vrai dans le syllogisme.

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14. Remarque. — Quoi qu'en dise Helmuoltz, Yaxiome III ne suffît pas à caractériser l'égalité des grandeurs physiques; il faut lui adjoindre V axiome 11 (loi commutative de 1 égalité). En effet, nous verrons bientôt [20] qu'une certaine relation, qui se traduit par le signe > et s'exprime par les mots « plus grand que », est telle que si Ton a

on a aussi nécessairement :

Supposons un instant que Ton ait pris cette relation pour l'égalité de l'espèce de grandeurs considérée, de sorte que le signe > s'énonce « égaie » *. On voit qu'elle vérifiera Yaxiome III, car de : « A égale B, B égale C », on pourra conclure : « A égale C ». On serait donc conduit à admettre cette relation comme définissant l'égalité spéciale de ces grandeurs, c'est-à-dire qu'on serait induit en erreur si l'on s'en tenait au seul axiome III. Au contraire, on évite cette erreur en tenant aussi compte de Yaxiome II, car la relation en question n'est pas réversible, et si A > B, on n'a pas B > A. Cette remarque prouve que Yaxiome II ne peut pas, comme le pense Hblmqoltz, se déduire de Yaxiome III, car il énonce une condition indépendante et complémentaire f.

1. Celle hypolhèse esl légitime, attendu que l'égalité physique ne se reconnaît qu'à certaines conditions empiriques, que les axiomes sont justement destinés à déterminer. (Cela arriverait, par exemple, avec une balance fausse.)

2. La méprise de Helmholtz s'explique par ce fait qu'il a impliqué d'avance dans son langage l'axiome //. Voici en effet comment il le démontre :

<> Si deux grandeurs sont égales à une troisième, elles sont égales entre elles. Il s'ensuit que la relation d'égalité est réciproque (wechselsei(ig). Car de

il résulte aussi bien

À = B que B = A. •

On le voit, c'est pour avoir dit : « sont égales • que J'auteur croit que les deux grandeurs figurent symétriquement dans la relation d'égalité : or cette façon de parler implique déjà, comme nous l'avons dit [12], l'axiome à démontrer. Il n'aurait pas été tenlé de le déduire de l'axiome III s'il avait formulé celui-ci suivant la rigueur mathématique comme suit : « Si :

on doit avoir :

En somme, la phrase par laquelle on énonce cet axiome III implique en môme temps l'axiome //; mais ce n'est pas une raison pour les confondre. Si nous avons employé la même phrase, c'est que, ayant auparavant énoncé l'axiome //, nous pouvions parler de l'égalité comme d'une relation symétrique; mais Hklm-

En revanche, les axiomes II et III peuvent se déduire tous deux de l'axiome A, qui est évidemment plus général. Nous l'avons déjà montré pour Vaxiome III. Quant à Y axiome II, il est une conséquence de Vaxiome A : car si, dans la relation d'égalité, supposée à sens unique,

Ton remplace chaque terme par l'autre, qui lui est égal, il vient :

15. 11 semble que Vaxiome A, qui résume les propriétés essentielles de l'égalité, suffise à lui seul à la caractériser. Il n'est donc pas étonnant que des mathématiciens l'aient pris pour la définition de l'égalité. Voici, par exemple, comment Hermann Grassmann a défini l'égalité ! : « Sont égales les choses dont on peut toujours affirmer la même chose, ou plus généralement, qui peuvent se remplacer mutuellement dans chaque jugement. » Helmholtz observe avec raison que cette formule est trop vague et trop générale : ce n'est pas l'égalité mathématique, mais une sorte d'égalité ou d'équivalence logique qu'elle définit. De plus, des choses qui seraient équivalentes sous tous les rapports, et qu'on pourrait substituer l'une à l'autre indifféremment dans tous les jugements que l'on peut porter sur elles, ne seraient pas seulement égales, mais identiques. L'auteur de cette définition a bien vu que l'idée d'identité est en quelque sorte la racine de celle d'égalité; mais, faute de l'avoir restreinte par la considération de telle espèce de grandeur, il a confondu les deux idées, au lieu de faire sortir l'une de l'autre.

Il convient donc de revenir à la formule plus précise que nous avons donnée de Vaxiome A, en tenant compte de l'espèce particulière de grandeur que l'on envisage dans les deux objets que l'on compare et que l'on juge égaux (ou inégaux). 11 s'agit de savoir si l'on peut prendre cet axiome pour une véritable définition de l'égalité, et dire : « Deux grandeurs de même espèce sont égales, quand elles peuvent se remplacer mutuellement dans toutes les relations où elles figurent comme grandeurs de cette espèce. » Mais cet énoncé, par cela même qu'il est plus correct, trahit la pétition de

HOLTZ, qui pose tout d'abord Vaxiome 7// (qu'il appelle Axiome I) ne le pouvait pas Zàhlcn und Mcssen, p. 36). Encore moins pouvait-il présenter notre axiome A comme une conséquence des axiomes II et ///, alors qu'il en est au contraire le fondement (p. 37).