Helmholtz, Zùhlen und Messen, p. 38, note

principe qui y est dissimulée. En effet, il suppose que Ton a l'idée nette d'une espèce de grandeurs, et que Ton sait reconnaître si deux grandeurs sont de même espèce. Or, comme nous l'avons déjà dit, si un esprit est capable de l'abstraction nécessaire pour démêler, sous des apparences diverses, une même espèce de grandeurs, il sera capable en même temps de reconnaître si deux objets différents enveloppent la même grandeur. Il n'est pas possible d'avoir la notion d'une espèce de grandeur, ni l'idée claire et distincte d'une grandeur déterminée, sans avoir la faculté de discerner une seule et même grandeur sous toutes les formes sensibles qu'elle peut revêtir : car cette faculté que l'esprit a de reconnaître l'identité de chaque objet de la pensée est la raison elle-même, sans laquelle il n'y a pas de pensée.

Il n'est donc pas légitime d'ériger l'axiome A en définition de l'égalité, car pour savoir si deux objets peuvent se remplacer dans telle relation de grandeur, il faudrait d'abord les penser comme grandeurs de même espèce, puis les comparer sous le rapport de cette espèce de grandeur, et alors on s'apercevrait nécessairement qu'ils sont égaux sous ce rapport, c'est-à-dire au fond identiques, en tant que grandeurs de l'espèce considérée. En résumé, ce n'est pas parce qu'on peut substituer l'un à l'autre deux objets dans une relation de grandeur déterminée qu'on les juge égaux; c'est parce qu'on les juge égaux (sous un certain rapport) qu'on peut les remplacer l'un par l'autre dans toute relation de grandeur où ils figurent sous le même rapport.

Ces remarques critiques confirment notre conception (nous ne disons pas : notre définition) de l'égalité des grandeurs concrètes, fondée sur l'identité des grandeurs abstraites correspondantes [13]. Elles complètent ce que nous avons dit au sujet de la méthode de comparaison des grandeurs d'une même espèce, à savoir que cette méthode suppose l'idée de l'espèce particulière de grandeurs qu'on envisage, loin de pouvoir la définir [3]. En général, c'est une erreur grossière de s'imaginer qu'un procédé empirique, quel qu'il soit, permettra de constater l'égalité physique à la façon d'un phénomène sensible, et dispensera de concevoir préalablement les objets à comparer comme des grandeurs de même espèce, entrant en relation précisément par ce caractère de grandeur qui est leur attribut commun.

Ainsi l'axiome A, quoique plus général que les autres et pouvant

par suite les engendrer, n'est, comme eux, qu'un des caractères, le plus essentiel et le plus universel il est vrai, de l'idée d'égalité; et comme tel, il est une des conditions que doivent vérifier les relations physiques que l'on devra nommer égalités, et le critérium principal auquel on les reconnaîtra. Mais il ne faut pas oublier qu'il présuppose, non seulement l'idée générale d'égalité, dont il est une conséquence, mais même l'idée de chaque espèce de grandeurs et de leur égalité spécifique. Ainsi, d'une part, il résulte de l'idée rationnelle et a priori d'égalité, c'est-à-dire d'identité de grandeur, dont il est un corollaire immédiat et intuitif : car deux grandeurs identiques, n'étant qu'une seule et même grandeur, peuvent évidemment se remplacer mutuellement comme telles; d'autre part, il n'engendre ni ne définit, à proprement parler, les idées des égalités spéciales, mais il sert à les reconnaître, parce que, énonçant un caractère essentiel de l'égalité en général, il doit être vérifié par toute égalité particulière ; en un mot, il sert à subsumer les relations empiriques entre grandeurs d'une même espèce sous l'idée universelle d'égalité.

16. Pour appliquer ces considérations à une espèce de grandeurs et les rendre plus accessibles, reprenons l'exemple de la balance, déjà employé par Helmiioltz. A quelles conditions reconnaîtronsnous que des poids sont égaux, ou plus exactement que des corps sont égaux sous le rapport du poids, c'est-à-dire ont le même poids? La relation qui doit caractériser l'égalité des poids sera une certaine position d'équilibre du fléau, position qui devra être marquée par le zéro de la graduation (on emploiera une graduation provisoire, qui fournira les points de repère). Cette relation devra vérifier l'axiome II, c'est-à-dire n'être pas troublée quand on permute les deux objets à comparer. C'est le procédé connu pour vérifier la justesse d'une balance : on change les corps de plateau. Si leurs poids sont égaux, le fléau doit reprendre la même position : c'est cette position qui correspondra à la relation d'égalité, et servira désormais à la définir.

On voit, par cet exemple, que la réversibilité de la relation d'égalité, évidente a priori, quand on considère l'égalité idéale, l'égalité en soi, a besoin d'être vérifiée par l'expérience, quand il s'agit de savoir si telle relation de fait mérite le nom d'égalité. On remarquera aussi que la détermination des conditions matérielles et du critérium empirique de telle égalité spéciale suppose l'idée d'égalité en général, et la notion de l'espèce de grain! ours à laquelle on

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applique cette idée. Aussi l'on peut bien donner cette définition pratique de l'égalité des poids : « Deux corps ont le même poids quand ils se font équilibre dans une balance juste (dans la position marquée par zéro) »; mais pour savoir si une balance est juste, il faut avoir déjà ridée de poids égaux. Aussi la phrase précédente prendelle un caractère fallacieux et humoristique dès que l'on prétend l'ériger en définition de l'égalité de poids, parce qu'on sent aussitôt qu'elle renferme une pétition de principe.

Il y a un autre moyen de s'assurer de l'égalité des poids sans avoir besoin de supposer la balance juste : c'est la méthode de la double pesée. Les deux corps dont on veut comparer les poids sont mis tour à tour dans le même plateau, l'autre étant occupé par une tare. Si leurs poids sont égaux, le fléau doit prendre, dans les deux pesées successives, la même position d'équilibre, quelle qu'elle soit d'ailleurs. On sait que ce procédé de mesure des poids est plus rigoureux que la méthode de simple pesée (même avec une balance juste). Pourquoi? Parce qu'il consiste, au fond, à vérifier l'axiome A, lequel suffit à caractériser la relation d'égalité, tandis que l'autre procédé ne repose que sur la vérification de V axiome IL Tout le monde sent confusément, par une sorte d'instinct rationnel ou de tact mathématique, que la méthode de la double pesée établit l'égalité de poids avec plus de certitude que l'autre. Cela tient à ce qu'on a l'intuition obscure et vague de cette vérité, que nous avons exposée ci-dessus, à savoir que Y axiome A est plus général que l'axiome //, et que si celui-ci est un corollaire de celui-là, il ne suffit pas à le remplacer : car il n'est pas équivalent à Y axiome III y autre conséquence de Y axiome A [14J.

On peut vérifier sur cet exemple ce que nous avons dit plus haut de la nécessité de concevoir préalablement l'espèce de grandeurs que l'on veut comparer, sans quoi une méthode de comparaison ne serait ni intelligible ni même possible [6J. Dans la double pesée, la balance joue le môme rôle que n'importe quel autre instrument destiné à mesurer les poids; elle n'a pas besoin d'être juste 7 il lui suffit d'être sensible. Or l'identité des effets produits par deux corps différents sur un peson à ressort, par exemple, ne nous apprendrait rien sur l'égalité de leurs poids, et ne nous donnerait même pas l'idée du poids, si nous n'avions par avance cette idée, et si nous ne savions que c'est leur poids à chacun qui produit l'effet observé. 11 ne suffit donc pas de constater par expérience une « coïncidence »

ou une « coopération » de deux objets pour avoir l'idée de deux grandeurs égales : il faut concevoir d'abord ces deux objets comme des grandeurs de même espèce, pour pouvoir les comparer, et c'est de Fidée de leur égalité spécifique que Ton déduit les signes empiriques auxquels on devra la reconnaître. Deux objets ne sont pas égaux quand, en les comparant à un point de vue quelconque, on peut les prendre l'un pour l'autre et les confondre dans la perception sensible, mais quand, considérés comme grandeurs abstraites de même espèce, ils sont conçus comme identiques sous ce rapport spécial et unique. Aussi, pour réfuter la définition de l'égalité de Grassmann, en la poussant à l'absurde, il suffirait de remarquer que deux tableaux de même forme, ayant des surfaces égales et formant des figures égales, ne peuvent pas (en général) se substituer l'un à l'autre dans tous les jugements, notamment dans le jugement esthétique que nous portons sur chacun d'eux. Ce qui est vrai de ce cas extrême est vrai de tous les autres : les objets égaux ne sont pas ceux qui peuvent se remplacer dans un jugement quelconque; ils ne peuvent se remplacer que dans les jugements qu'on porte sur la grandeur qui est leur caractère commun, c'est-à-dire en tant qu'on les réduit par abstraction à des grandeurs de même espèce et qu'on les pense comme une même grandeur, en un mot, comme égaux.

17. Aux axiomes de l'égalité, que nous venons d'énoncer, il convient de joindre l'axiome de l'inégalité, qui leur est naturellement uni. D'ailleurs, Y axiome I concerne à la fois l'égalité et l'inégalité, puisqu'il pose ces deux idées comme contradictoires, et postule la disjonction complète des relations correspondantes. V axiome II signifie que, si deux grandeurs sont égales, la première est aussi bien égale à la seconde que la seconde à la première. De cet axiome (joint à Yaxiome I) il résulte que, si une grandeur n'est pas égale à une autre, celle-ci n'est pas non plus égale à la première, de sorte qu'on peut dire d'elles, sans indiquer leur ordre ni les distinguer entre elles, qu'elles sont inégales. Ce n'est pas là, comme on voit, un nouvel axiome, mais un simple corollaire de Yaxiome II. On peut donc dire que cet axiome concerne, lui aussi, à la fois les grandeurs égales et inégales.

Axiome IV. — « De deux grandeurs inégales, l'une est plus grande que l'autre, l'autre plus petite que la première '. » Il est clair, tout