Cf. axiome 17 de Helmiioltz (relatif aux nombres

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d'abord, que cet axiome est indépendant des précédents, et leur ajoute quelque chose, car il distingue deux sens opposés dans la relation d'inégalité, jusqu'ici symétrique comme celle d'égalité. Tout ce que nous savions, c'est que si deux grandeurs ne sont pas égales, elles sont inégales; voici que Ton introduit, dans la relation d'inégalité, une diversité qui n'existait pas dans la relation d'égalité. Qu'on ne nous demande pas de définir les termes « plus grand » et « plus petit » : ce sont deux notions nécessairement impliquées dans l'idée de grandeur. C'est en ce sens qu'on peut dire que la grandeur est ce qui est susceptible de plus et de moins, pourvu que l'on entende simplement caractériser par là l'idée de grandeur, et non en donner une véritable définition [i].

18. Quant à savoir quel est le fondement de cet axiome, il ne semble pas que ce soit le principe de contradiction, car cet axiome parait être un jugement, non analytique, mais synthétique. Sans doute, il ne fait qu'analyser notre idée de grandeur, et en énonce un caractère essentiel ; et en ce sens, il est analytique. Mais d'autre part, il ajoute à l'idée d'inégalité simple (de non-égalité) une détermination nouvelle qui n'y était certainement pas contenue, à savoir celle d'une relation irréversible; et en ce sens, il est synthétique. Peut-être ne faut-il pas attacher trop d'importance à cette distinction des jugements analytiques et synthétiques, fondamentale dans le système de Kant; et la facilité même avec laquelle un jugement unique, tel que l'axiome en question, parait tour à tour synthétique ou analytique, suivant le point de vue, semble prouver que cette distinction n'est pas aussi rigoureuse et aussi tranchée que Kant l'a pensé. Quoi qu'il en soit, cet axiome IV ne peut pas se réduire au type du jugement analytique, qui est : A est A ; il formule une propriété synthétique de la grandeur en général.

La même question se pose alors de nouveau : Quel est le fondement de ce jugement synthétique, qui est évidemment nécessaire, et par suite a priori*! Nous répondrons, au moins provisoirement : Dans l'idée de grandeur, qui est aussi le fondement des axiomes précédents, et dont nous ne faisons qu'analyser les caractères et décrire les propriétés. Un Kantien insistera sans doute, et nous demandera, puisque tout jugement synthétique doit reposer sur une donnée intuitive, de quelle intuition (nécessairement a priori) nous tirons ce jugement. C'est là une question à laquelle nous répondrons plus tard [IV, 111]. Disons cependant tout de suite que l'intuition sur

laquelle sont fondés les axiomes relatifs à la grandeur ne nous paraît pas être une intuition sensible, mais une intuition rationnelle; attendu que Tidée pure de grandeur, d'où tous ces axiomes découlent, est indépendante de toute forme sensible, et semble être plutôt une forme rationnelle. Si cette présomption était vraie, il faudrait renoncer à Tune des thèses fondamentales de la critique kantienne, à savoir qu'il n'y a pas d'autre intuition que l'intuition sensible, et que les jugements mathématiques ne peuvent être fondés que sur les formes a priori de la sensibilité. C'est ce que nous essaierons d'établir dans la suite, en analysant un autre caractère essentiel de la grandeur, qui est la continuité.

19. De V axiome IV il résulte immédiatement que, étant données deux grandeurs inégales A et 6, si l'on sait que

A > B, on doit avoir aussi :

Seulement, il faut remarquer que Vaxiome IV ne permet pas de déterminer le sens de l'inégalité : il se borne à affirmer que toute inégalité a un sens déterminé. Pour appliquer cet axiome, ou son corollaire que nous venons d'énoncer, il faut déjà connaître le sens de l'inégalité, savoir par exemple que A est plus grand que B. Or c'est ce qu'on ne peut apprendre que dans chaque cas particulier par une méthode spéciale. En général, la méthode de comparaison qui permet de décider de l'égalité ou de l'inégalité de deux grandeurs données de même espèce ne permet pas de distinguer le sens de l'inégalité : elle apprend simplement que les deux grandeurs comparées sont inégales, rien de plus. Pour savoir en outre laquelle des deux est la plus grande ou la plus petite, il est besoin d'une autre méthode de comparaison. Sans doute, pour certaines espèces de grandeurs, le même procédé ouïe même instrument indique à la fois l'inégalité et son sens : par exemple la balance, pour les poids. 11 n'en est pas moins vrai qu'en principe il y a là deux méthodes de comparaison différentes, ou du moins deux moments distincts de la comparaison, qui sont logiquement indépendants. C'est la définition de

1. Nous ne voyons pas pourquoi M. Stolz a fait de ce simple corollaire de Vaxiome /K un axiome distinct et indépendant; il est vrai qu'il a interverti l'ordre logique de ces deux axiomes, en énonçant d'abord celui-ci, puis Vaxiome IV [Arithmétique générale, chap. i. Dans le chap. v, l'axiome IV ne se trouve pas, mais seulement son corollaire).

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l'addition de chaque espèce de grandeurs qui seule permettra de fixer d'une manière générale le sens de l'inégalité ».

20. On ajoute souvent aux axiomes précédents d'autres axiomes concernant les inégalités; par exemple celui-ci1 : « Si

on a

ou d'autres semblables, où Ton prend pour hypothèses une inégalité et une égalité combinées, d'où Ton tire une nouvelle inégalité. Mais tous ces axiomes sont de simples conséquences de Yaxiome A appliqué à la relation d'inégalité, de même que Yaxiome III découle de Yaxiome A appliqué à la relation d'égalité elle-même; ils s'en déduisent exactement de la même manière, car on peut les résumer dans la formule suivante : « Deux grandeurs égales peuvent se remplacer dans toute relation d'inégalité », qui n'est qu'un corollaire ou une spécification de Yaxiome A.

Quant à l'axiome classique de l'inégalité, où ne figurent que des inégalités :

« Si

on a :

et qui est pour la relation d'inégalité l'analogue de Yaxiome III de l'égalité, ce n'est pas un principe original et indépendant; car on le déduira, dans le Chapitre suivant [il], de Yaxiome de la différence, qui peut être aussi considéré comme un axiome de l'inégalité; mais comme celui-ci implique l'idée de somme, il ne peut être énoncé qu'après les axiomes de l'addition.

1. Voir le Chapitre suivant, Axiome IV. Cf. Helmholtz, Ziilden und Messe n, p. 42, 44.

2. Stolz, op. cit., 3e axiome de l'inégalité (chap. i); 5* axiome des grandeurs (chap. v).

3. Stolz, op. cit., 4e axiome de l'inégalité (chap. î); 6* axiome des grandeurs (chap. v).