CHAPITRE II

THÉORIE DE LA MESURE DES GRANDEURS (serre) :

Pour pouvoir mesurer les grandeurs d'une certaine espèce, il ne suffît pas d'avoir défini leur égalité et leur inégalité : il faut en outre définir leur addition. La connaissance des relations d'égalité et d'inégalité entre toutes ces grandeurs permet bien de les ranger en une suite linéaire par ordre de grandeur croissante, par exemple, chaque grandeur étant plus grande que toutes les précédentes et plus petite que toutes les suivantes (ce qui est possible en vertu de Y axiome 1 V). Mais elle ne suffît pas à déterminer la grandeur des intervalles de cette suite, de ce qu'on appelle la différence de deux grandeurs inégales quelconques : on sait seulement qu'elles diffèrent, mais on ne peut pas dire « de combien » '. Pour que la différence (au sens philosophique du mot) de deux grandeurs inégales devienne une grandeur mesurable de la même espèce, il faut qu'on ait défini la somme de deux grandeurs de même espèce, et qu'on puisse affirmer que de deux grandeurs inégales, la plus grande est la somme de la plus petite et de leur différence f. Tel est, en quelques mots, le sens et le rôle des axiomes de l'addition, que nous allons maintenant formuler avec la rigueur mathématique; les considérations qui précèdent n'ont d'autre fin que de préparer le lecteur à l'exposition qui va suivre, en lui en montrant d'avance la portée et l'intérêt philosophique.

i. On a dû remarquer que tous les axiomes de l'égalité sont vérifiés par les nombres, de sorte que ces axiomes établissent une ana-