Cf. 1™ Partie, Liv. I, Chap. i, fin (p

2. Voir Poincaré, Le continu mathématique, p. 27 note, et 33, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I.

.vin-.li:- DE !- a noN

logie parfaite entra chaque ensemble de grandeurs de même espèce cl le système des nombres entiers. Celte analogie persiste ii l'égard des opérations auditives, car, comme on va ta voir, les axiomes de l'addition des grandeurs sont calqués sur les propriétés caractérislic|ues de l'addition des nombres. De même que, l'idée rationnelle d'égalité étant donnée, on a cherché, pour chaque espèce de gfiwdenrs, i|uelle relation de fait pouvait vérifier les conditions générales de l'égalité cl mériter le nom A' égalité particulière a l'espèce considérée; de même, étant données les règles de I addition des nombres entiers, on vu chercher, dans chaque espèce de grandeurs, quelle combinaison effective préBenta les caractères essentiels de l'addition numérique, et mérite d'être appelée la nùiitimr do deux grandeurs de cette espèce. On peut donc prévoir que les axiomes de l'addition des grandeurs seront les conditions formelles de l'addition des nombres, de sorte que les deux opérations vérilieronl les mêmes formules raraetèrisliijues. Mais il ne faut pas oublier que ces deux Opérations (addition arithmétique cl addition physique) n'ont de Commun, avec le nom, que la forme extérieure, el sont radicalement disliucles et hétérogènes; qu'il n'y a, par suite, aucune nécessité a ce qu'on retrouve, dans ebaque l'spècc de grandeurs, une combinaison qui puisse être appelée addition. Tout ce qu'on peut affirmer d'avance, c'est que les seules espèces de grandeurs qui soient mesurablis son! celles où l'on pourra Irouver une telle combinaison. Un entrevoit dés maintenant que, grâce au parallélisme établi par les axiomes de l'égalité el confirmé par les axiomes de l'addition entre les nombres et les grandeurs, on pourra représenter celles-ci par ceux-lù, faire correspondre aux combinaisons de grandeurs des opêralions sur les nombres, en un mol, Iraduire toules tes relations de grandeurs en relations analogue- entre des nombres.

. Axiomk l. — La première condition que doive remplir l'addition des grandeurs d'une espèce quelconque est évidemment la suivante : - La tomme de deux grandeurs de même espèce doit Être une grandeur de la même espèce. » Ce postulat, qui ne peut ni ne doiL êlre démontré, se justifie par les raisons que nous avons indiquées plus haut : si l'on veut que In différence, de deux grandeurs de même espèce soit une grandeur de même espèce, il faut qu'on puisse reproduire la plus grande eu ajoutant à la plus petite une autre grandeur de la même espèce; et, plus généralement, qu'eu ajoutant à une grandeur donnée des grandeur- quelconques du même système on

retrouve toujours des grandeurs de ce système; de même qu'en ajoutant à un nombre entier donné des nombres entiers quelconques on obtient toujours d'autres nombres entiers. Ainsi cet axiome a sa raison d'être, non dans un principe rationnel ou dans une idée a priori d'où Ton pourrait le déduire, mais dans ses conséquences et pour ainsi dire dans sa destination, qui est de rendre possible l'assimilation d'une combinaison concrète de grandeurs à une addition de nombres abstraits.

3. Axiome II (Loi commutative). — La somme de deux grandeurs ne doit pas changer quand on permute entre elles ces grandeurs; ce qui be traduit par la formule

Cet axiome n'a d'intérêt que si, dans la combinaison considérée, les deux grandeurs n'entrent pas symétriquement, car dans le cas contraire il est naturellement vérifié. Néanmoins, même dans ce cas, il garde sa valeur et son utilité : car il s'agit de savoir, par une analyse exacte et complète des conditions empiriques de la combinaison, si les objets que l'on combine y figurent symétriquement, ce qui est parfois difficile et souvent délicat. Pour prendre un exemple (relatif, il est vrai, non pas à l'addition, mais à légalité), on néglige en fait, dans les pesées qui s'effectuent clans l'air, les différences de volume que présentent les corps à peser; on pourrait se croire autorisé à le faire, attendu qu'en apparence le poids est indépendant du volume, et, du moment que c'est les poids qu'il s'agit de comparer, il semble qu'on puisse sans inconvénient faire abstraction du volume : la symétrie sera observée si les deux corps sont suspendus symétriquement à un fléau symétrique {non seulement de figure, mais de masse [symétrie mécanique]). Mais on oublie que la poussée de l'air est inégale pour des corps de volumes différents, de sorte que l'égalité de poids que l'on a cru constater dans l'air n'existe plus dans le vide, comme le montre l'expérience du baroscope l. Aussi est-on amené, pour éliminer dans les pesées très délicates l'influence do la poussée de l'air, à donner aux deux corps la même forme, afin d'être sûr que s'ils ont le même poids apparent (dans l'air), ils ont aussi le même poids réel (dans le vide) *. 11 faut

\. Voir Drion et Ferket, Traité de Physique élémentaire, liv. 1, cliap. v, § V, n° 159 (9« édit., Paris, Masson, 1883).

2. Méthode de la tare compensé* employée par Hcgnault pour déterminer la densité des gaz. Voir Drion et Fernet, op. cit., liv. Il, chap. m, n° 2H.

donc discerner avec grand soin quelles sont les circonstances qui peuvent influer sur les grandeurs que l'on compare ou que Ton combine, afin de savoir si ces circonstances sont les mêmes pour toutes deux, et de ne négliger que les circonstances réellement indifférentes. C'est à ce prix qu'on pourra être assuré que les deux grandeurs sont placées dans les mêmes conditions effectives, et figurent symétriquement, soit dans la relation qualifiée d'égalité, soit dans la combinaison nommée addition.

4. Axions III (Loi associative). — Cette loi s'exprime par la formule suivante :

qui peut se traduire par l'énoncé que voici : Au lieu d'ajouter successivement deux grandeurs données à une autre grandeur (de même espèce), il revient au même d'ajouter à celle-ci la somme de celles-là. Chacune des parenthèses qui figurent dans la formule indique une Somme effectuée, et par suite une grandeur unique. Le premier membre signifie qu'on ajoute à A, d'abord 6, puis C; le second membre signifie qu'on fait d'abord la somme de B et deC, et qu'on l'ajoute à A. La formule elle-même exprime que les deux résultats sont égaux, ou que les deux grandeurs ainsi obtenues sont identiques.

Quoi qu'en dise Helmuoltz \ cet axiome n'est nullement une conséquence des deux premiers. Il est vrai que cet auteur formule Y axiome H d'une manière plus générale, en l'appliquant à une somme d'un nombre quelconque de grandeurs (loi commutative généralisée). Mais puisque l'addition est primitivement une combinaison de deux grandeurs seulement, et que pour additionner plusieurs grandeurs, données dans un certain ordre, il faut d'abord ajouter la seconde à la première, puis la troisième à la somme des deux premières, et ainsi de suite, on n'a jamais en définitive à effectuer que des sommes de deux grandeurs, et c'est à de telles sommes que se réduisent toujours les sommes de plusieurs grandeurs. 11 ne faut donc pas considérer celles-ci comme des combinaisons élémentaires, et en faire l'objet des axiomes primordiaux de l'addition des grandeurs. Au contraire, c'est des axiomes II et /// tels que nous venons de les formuler (lois commutative et associative) qu'il convient de déduire la loi commutative généralisée, selon laquelle on

l. Zâhlen une! Mess en, p. 43.

peut, dans une somme de plusieurs termes, intervertir Tordre de deux termes consécutifs quelconques (même quand ils ne sont pas les premiers); et c'est précisément cet ordre logique qu'a suivi le même auteur pour les axiomes de l'addition des nombres *.

5. D'autre part, il est presque évident qu'on ne peut pas davantage déduire Vaxiome II de Yaxiome III (à moins de faire l'hypothèse gratuite et exceptionnelle : A = B — C). Que si Hklmooltz a pu les déduire l'un et l'autre d'un principe unique (l'axiome de Grassmann), cela lient justement à ce qu'il a pu faire, au sujet des nombres, l'hypothèse dont nous parlons, attendu que les nombres sont composés d'unités toutes égales entre elles. Mais celte propriété, essentielle aux nombres, ne saurait être attribuée aux grandeurs qu'en vertu d'un postulat arbitraire, qui peut-être même répugne à la nalure propre de la grandeur; et il y a intérêt à pousser aussi loin que possible la théorie de la mesure des grandeurs, sans supposer d'avance celles-ci composées d'unités égales, cl sans les assimiler d'emblée aux nombres *.

En résumé, les deux axiomes précédents sont indépendants l'un de l'autre; à eux deux, ils suffisent à caractériser l'addition des grandeurs comme une combinaison commutalive et associative. On en peut déduire toutes les propriétés formelles de l'addition des grandeurs, lesquelles seront naturellement les mêmes que celles de l'addition des nombres, puisque les principes dont elles découlent sont les mêmes. En particulier, on peut, en combinant ces deux axiomes, généraliser les loiscommutative et associative en les étendant à un nombre quelconque de grandeurs à additionner. Ces deux lois généralisées se résument dans la formule suivante : « Dans une somme de plusieurs grandeurs données dans un ordre déterminé, on peut intervertir à volonté l'ordre des termes et en remplacer un nombre quelconque par leur somme effectuée. »

6. Aux axiomes précédents on ajoute souvent , à l'exemple d'EucLinrc, d'autres axiomes qui nous paraissent inutiles. Telles sont les deux propositions suivantes :

« Si :

on doit avoir