Voir Helmholtz, op. cit., p

Cil. II. — AXIOMES DE L ADDITION 393

« Si :

on doit avoir

La première » peut s'énoncer ainsi : « Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les sommes sont égales. » C'est une conséquence de cette propriété générale de l'égalité que nous avons appelée axiome A. En effet, si deux grandeurs égales peuvent se remplacer dans toutes leurs relations, on pourra remplacer successivement, dans la somme (A -h B), la grandeur A par son égale A', et la grandeur B par son égale B\ sans que cette somme change. Donc les deux sommes (A -h B) et (A' -f- B') sont des grandeurs égales, ou, pour mieux dire, identiques.

La seconde proposition s peut s'énoncer comme suit : « Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs inégales, les sommes sont inégales. » Ce n'est pas un axiome irréductible, car il dérive de cette proposition plus simple :

« Si

B > B', on a :

en vertu de l'axiome A, qui permet de remplacer, dans le second membre de la dernière inégalité, la grandeur A par son égale A'. Quant à cette proposition elle-même, elle n'est nullement une vérité primitive, mais un corollaire de Yaxiome de la différence, que nous énoncerons plus loin. Si donc Ton ne doit pas plus multiplier en Logique les axiomes que les êtres en Métaphysique, les deux axiomes précédents doivent être réjetes. On remarquera que c'est V axiome A qui nous permet de nous en passer; cela montre la généralité et la fécondité de celui-ci, car, outre qu'il engendre les deux axiomes de l'égalité, il nous a déjà dispensé d'un prétendu axiome de l'inégalité [Ch. i, 20] et, en général, il supprime une foule d'axiomes particuliers qui consistent, à l'occasion de chaque relation ou combinaison nouvelle, à affirmer qu'on peut y remplacer une grandeur par une grandeur égale 3. Non seulement Yaxiome A