Quatrième axiome cTEuclide; axiome V de Helmholtz

3. Par exemple l'axiome 4e de M. Stolz (Arithmétique générale, chap. i) et l'axiome V de l'addition des nombres, du môme auteur (op. cit., chap. n).

réalise ainsi une notable économie de postulats, mais il les résume en les mettant dans leur vrai jour : en effet, la faculté qu'on a de substituer une grandeur égale à une autre dans les inégalités, dans les sommes, etc., n'est pas une propriété particulière de l'inégalité, de l'addition, etc., mais une propriété générale et unique de l'égalité. Au lieu de la répéter pour chaque relation nouvelle et d'en faire un axiome spécial à cette relation, il vaut bien mieux l'énoncer, une fois pour toutes, à sa vraie place et sous sa forme véritable, comme axiome de l'égalité f.

7. Il y a encore un axiome de l'addition, qui est plutôt un axiome de l'inégalité, car il sert, non à caractériser l'addition, mais à définir le sens de l'inégalité, jusqu'ici incertain [Gh. i, 19]. Il s'énonce ainsi :

Axiome IV. — « La somme de deux grandeurs (de même espèce) est plus grande que chacune d'elles ' »; et il peut se traduire par Tune des deux formules suivantes :

On remarquera que c'est la première fois que l'on a un moyen de reconnaître si une grandeur est plus grande qu'une autre : jusqu'ici, l'on ne pouvait, en général, s'assurer que de leur inégalité. Sans doute, on savait (par Yaxiome IV de l'égalité) que l'inégalité a deux sens contraires, de sorte que si l'un d'eux est connu, l'autre s'ensuit immédiatement; mais on manquait d'un principe qui permit de discerner, dans chaque cas particulier, lequel de ces sens correspond au plus, et lequel au moins. Ce nouvel axiome détermine donc le sens de toute inégalité, et fixe la signification des mots « plus grand » et « plus petit », jusqu'ici ambigus.

8. Axiome V (Axiome de la différence). — Cet axiome est la réciproque du précédent, ce qui ne veut pas dire, comme on sait, qu'il en soit une conséquence, au contraire. Vaxiome IV pouvait s'énoncer

i. Nous croyons que ces raisons sont valables au point de vue théorique; mais il convient de reconnaître que, dans la pratique, il faut Yéritier Vaxiome A chaque fois qu'on définit une nouvelle relation ou combinaison, de sorte qu'il n'est pas inutile, à cet égard, de le rappeler à l'occasion en le spécifiant, afin qu'on n'oublie pas de l'appliquer à chaque cas particulier. En un mot, si cet axiome est un en principe, il est multiple dans ses applications.

2. Neuvième axiome iI'Kuclide : - Le tout est plus grand que sa partie ». Helmiioltz (op. cit. y p. 4i) énonce cette proposition sins l'ériger en axiome; on le trouve au contraire formulé deux fois dans l'Ouvrago de M. Stolz : chap. n, i>" axiome de l'addition des nombres; chap. v, 11e axiome relatif aux grandeurs.

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Cil. II. — AXIOMES DE L ADDITION 39,*>

ainsi : « Si, de deux grandeurs de même espèce, l'une est la somme de l'autre et d'une troisième grandeur, elles sont inégales, et la première est plus grande que la seconde. » Le nouvel axiome s'énonce de la manière suivante :

<• Si deux grandeurs de même espèce sont inégales, il existe une troisième grandeur telle, que l'une des grandeurs données soit égale à la somme de l'autre et de celte troisième ». » * Cette troisième grandeur s'appelle la différence des deux grandeurs données. Soient À et B celles-ci ; on a par hypothèse :

En vertu de Yaxiome V, on doit avoir, par exemple :

On a par suite, en vertu de Yaxiome IV :

La différence G s'appelle alors Yexcès de A sur B. On voit que Yaxiome V concourt avec le précédent à déterminer le sens de l'inégalité dans tous les cas.

Si l'on connaît d'avance le sens de l'inégalité., c'est-à-dire si l'on sait par exemple que

A > B, ou que [axiome IV de l'égalité)

B< A, on en conclut immédiatement, par Yaxiome de la différence :

la grandeur G étant indéterminée.

Ainsi, en vertu des deux axiomes réciproques IV et V, les deux formules

sont équivalentes, car elles se déduisent l'une de l'autre, indifféremment. Par conséquent, dire que deux grandeurs sont inégaies, ou dire qu'elles ont une différence, c'est dire une seule et même chose.

1. Cf. axiome Vil de Heuiholtz relatif, aux nombres, et axiome III de Stolz, relatif aux grandeurs {op. cit., chap. v).

2. On peut toujours écrire ainsi cette formule, attendu que les deux lettres A et B sont auparavant indiscernables.

9. Théorème. — Si deux grandeurs ont une différence, celle différence est unique.

En effet, soient deux grandeurs A et 6, ayant une différence G :

Supposons qu'elles aient une autre différence D. Je dis d'abord qu'on ne peut avoir

Br:A + D,

car il en résulterait

B > A, tandis que par hypothèse

Or ces deux inégalités sont incompatibles, en vertu de V axiome IV de l'égalité [Ch. i, 19]. On doit donc avoir :

et Ton suppose que

Admettons, par exemple, que

(ce qui est légitime, attendu que les deux lettres C et D sont indiscernables). En vertu de Yaxiome III de l'égalité, on a :

Remplaçons C par la somme qui lui est égale (en vertu de Yaxiome A)

il vient :

B -h (D -h E) rr B -f- D.

Or, en vertu de Yaxiome III de l'addition (loi associative), on a :

Donc (par Yaxiome III de l'égalité) :

D'autre part on a (par Yaxiome 1 V de l'addition) :

ce qui contredit le résultat précédent. L'hypothèse dont on est parti, a savoir

est donc contradictoire. 11 faut par conséquent admettre la proposition contraire, à savoir :

Ainsi les deux grandeurs données n'ont qu'une seule différence, qui est la grandeur C (ou toute grandeur égale, c'est-à-dire identique à G).

Si nous avons insisté sur la démonstration de ce théorème, le premier de Ja science des grandeurs, en développant tous les raisonnements, c'est pour montrer par un exemple le rôle que jouent les axiomes dans la déduction mathématique : chacune des articulations de la démonstration nait, comme on le voit, de l'application d'un des axiomes énumérés.

10. Corollaire. — Si à une même grandeur on ajoute séparément deux grandeurs inégales, on obtient deux sommes inégales.

Cela résulte de la démonstration précédente: pour le faire voir, reprenons les mêmes lettres. Soit B la grandeur donnée, soient G et D les deux grandeurs à ajouter; l'hypothèse est :

Il en résulte (par Y axiome de la différence) :

Donc (comme ci-dessus) :

On en conclut (par Yaxiome IV de l'addition) :

Si, dans le second membre de l'inégalité précédente, on remplace B par une grandeur égale B', la relation sera encore vraie (en vertu de Yaxiome A). On retrouve ainsi, démontré, le quatrième axiome d'EucuDE, que nous avons écarté plus haut [6] : « Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs inégales, les sommes sont inégales ». Pour retrouver la même formule, il suffit de remplacer B par À, B' par A', C par B, et D par B'. Il vient : « Si

on a

A plus forte raison peut-on énoncer le théorème suivant :

« Si

1. Cf. démonstration de l'axiome V pour les nombres entiers, ap. Helmiioltz, op. cit., p. 29. Cf. 6* axiome de l'addition des nombres, ap. Stolz, op. cit.y chap. u.

on a

qui se démontrerait exactement de même, en posant

d'où Ton tire

11. Vaxiome de la différence permet encore de démontrer, ainsi que nous l'avons annoncé [Gh. i, 20], le prétendu axiome de l'inégalité qui s'énonce comme suit :

« Si

on a

En effet, en vertu de Vaxiome K, on doit avoir

Donc

ce qui prouve (par Vaxiome IV) que

Notation. — La différence de deux grandeurs A et B (A > B) s'écrit ainsi :

En vertu du théorème précédent [9], cette expression représente une grandeur unique et déterminée, à la condition que

Conséquemment, les deux formules suivantes :

sont équivalentes. Jrouver la différence de deux grandeurs, c'est ce qui s'appelle soustraire ou retrancher la plus petite de la plus grande. L'expression :

n'ayant de sens que si

il s'ensuit que, dans cette hypothèse, l'expression

n'en a aucun; car (en vertu de Y axiome IV de Pégalité) on a en

même temps :

Si donc l'opération nommée soustraction des grandeurs est univoque (c'est-à-dire donne un résultat unique), elle n'est pas toujours possible. Elle a par suite le même caractère et les mêmes propriétés que la soustraction des nombres arithmétiques ou positifs.

En résumé, grâce aux axiomes ou postulats précédents, l'addition et la soustraction des grandeurs sont tout à fait analogues aux opérations homonymes sur les nombres entiers, et possèdent des propriétés correspondantes.

12. Toutefois, ces deux opérations additives (directe et inverse), relatives à chaque espèce de grandeurs, ne sont entièrement caractérisées que lorsqu'on a défini leur module, c'est-à-dire une gran^ deur de même espèce que Ton peut ajouter ou retrancher aux autres sans changer leur valeur : cette grandeur correspondra, dans chaque système de grandeurs, au nombre zéro dans le système des nombres. Il est naturel, dès lors, de la représenter par le même signe, 0; seulement, il faut bien remarquer qu'il ne désignera pas alors le nombre zéro, mais la grandeur qui, dans l'espèce considérée, joue le rôle de module de l'addition; on la nomme pour cela grandeur nulle, parce qu'elle n'a aucune influence sur le résultat des combinaisons additives où elle entre, et qu'on peut l'y supprimer sans inconvénient. Ainsi, ajouter ou retrancher la grandeur nulle h une grandeur de la même espèce équivaut à n'ajouter ou à ne retrancher rien à celle-ci; mais cela ne veut pas dire que la grandeur nulle ne soit rien : c'est une grandeur de même nature que les autres grandeurs de l'espèce, et tout aussi réelle et déterminée qu'elles. Bien entendu, l'on ne peut la définir en général et a priori que d'une manière purement formelle, en indiquant, comme nous venons de le faire, sa propriété essentielle; pour définir ensuite la grandeur nulle dans chaque espèce particulière de grandeurs, il faut reconnaître quelle est celle qui offre les caractères formels et remplit les conditions générales de toute grandeur nulle, et vérifier sur elle, empiriquement et a posteriori, l'axiome suivant* qui peut lui servir de définition :

Axiome VI (Axiome du module). — « Si l'on ajoute à une grandeur quelconque la grandeur nulle de même espèce, la somme est une grandeur égale à la première. »