LIV. II

Cet axiome se traduit par la formule suivante :

Il signifie que Ton appellera nulle, et que Ton représentera par 0, la grandeur qui, dans chaque espèce, vérifiera cette formule.

La découverte ou l'invention de cette grandeur nulle oblige à imposer certaines restrictions aux axiomes précédents, sans que pour cela leur valeur subisse aucune atteinte, car, lorsqu'on les a formulés, on n'avait pas prévu le cas de la grandeur nulle, qui n'existait pas encore. Ainsi, il est clair que la formule précédente fait exception à Y axiome IV de l'addition; l'énoncé de celui-ci devra donc être modifié comme suit : « La somme d'une grandeur quelconque et d'une grandeur non nulle est plus grande que la première. »

Corollaire. — Toute grandeur non nulle est plus grande que zéro. En effet, toute grandeur non nulle A est la somme de zéro et de A; donc elle est plus grande que zéro.

Etant donnée une grandeur quelconque, nulle ou non, on ne peut lui ajouter que deux sortes de grandeurs de même espèce : des grandeurs nulles ou des grandeurs non nulles. Dans le premier cas, la somme est égale à la grandeur donnée (axiome VI); dans le second cas, elle est plus grande (axiome IV). On en conclut les prositions suivantes :

Corollaires. — 1° Pour que la somme de deux grandeurs soit égale à Tune d'elles, il faut et il suffit que l'autre soit nulle.

2° Pour que la somme de deux grandeurs soit nulle, il faut (et il suffit évidemment) qu'elles soient nulles toutes les deux.

13. Si l'introduction de la grandeur nulle dans un système de grandeurs oblige à restreindre certains axiomes, elle permet en revanche d'étendre Y axiome V, et par suite la notion de différence. En effet, en vertu de la notation établie plus haut [11], la formule générale d'addition

équivaut aux deux formules de soustraction :

Appliquons en particulier cette transformation à la formule qui traduit Y axiome VI :

^■■y» yj." tr* ■m7r- s* yv ~-" r ■* * v» " -i - . - ■* - • ---—.*-• »--x-- * - — :-.*-.-. ^t*-^- ^«v^ -«*-*»-* ▼■ -t«-t;--*t •-- 7"f"r"7*» "i"M»y^"^i

Il vient :

La première de ces formules indique que la grandeur nulle est le module de la soustraction ; on pouvait le prévoir a priori, car les deux combinaisons additives, directe et inverse, ont nécessairement le même module.

La seconde de ces formules signifie que la différence de deux grandeurs égales est la grandeur nulle de même espèce. Elle peut servir à définir, soit la grandeur nulle, au cas où l'opération de la soustraction aurait encore un sens pour deux grandeurs données égales; soit la différence de deux grandeurs égales, dans le cas contraire. De toute façon, Ton peut dire que deux grandeurs de même espèce ont toujours une différence : non nulle, si elles sont inégales; nulle, si elles sont égales. On sait d'ailleurs, par l'axiome /de l'égalité, que cette alternative épuise tous les cas possibles. Il ne s'ensuit pas que la soustraction soit toujours possible : elle n'est possible en général que dans un sens, et impossible dans l'autre. En effet, la différence de deux grandeurs données n'existe que si l'on ne spécifie pas leur ordre : car si la grandeur (A — B) existe, la grandeur (B — A) n'existe pas, en général [11]. Le seul cas où les deux expressions

(A — B) et (B — A)

aient un sens à la fois, est le cas où

A = B, car alors

En résumé, les deux formules

A = B et

sont absolument équivalentes, par définition, la seconde n'étant qu'une manière différente d'écrire la première ".

1. Nous nous sommes écarté, pour l'introduction de l'idée de grandeur nulle, de la marche suivie par M. J. Tannery, que nous avons partout ailleurs pris pour guide. L'auteur introduit cette notion après les axiomes de l'égalité et avant ceux de l'addition, et en fait l'objet d'un postulat spécial. H exige qu'on ait d'abord l'idée d'une grandeur nulle de chaque espèce; puis il insère notre axiome VI parmi les axiomes de l'addition, c'est-à-dire parmi les conditions que doit vérifier une combinaison de grandeurs de même espèce pour avoir les caractères de l'addition. Cette opération peut alors se définir : « Une combi-

14. Les six axiomes de l'addition que nous venons d'exposer sont, comme les axiomes de l'égalité, des postulats que doivent vérifier les grandeurs mathématiques de chaque espèce. Seulement, tandis que les axiomes de l'égalité sont fondés sur l'idée de grandeur en général, ceux de l'addition paraissent reproduire, en les appliquant aux grandeurs, les propriétés essentielles de l'addition des nombres. Il en résulte que si un objet de pensée ou d'intuition ne vérifie pas les premiers, il ne pourra même pas être conçu comme une grandeur; mais il peut exister des grandeurs qui vérifient les premiers sans vérifier les seconds : de telles grandeurs ne seront pas inconcevables, sans doute, mais elles ne seront pas mesurables : elles n'auront pas le caractère de grandeurs mathématiques, et ne rempliront pas les conditions nécessaires pour qu'on puisse les soumettre au calcul. Pour prendre un exemple particulier, le dernier des axiomes énoncés exige que l'on conçoive, pour chaque espèce de grandeurs, une grandeur nulle de même espèce. On pourrait se demander quelle nécessité il y a à ce que l'axiome du module soit vérifié, et ce qui résulterait de sa violation pour une certaiue espèce de grandeurs. Nous répondrons qu'il n'y a aucune nécessité logique à ce qu'il existe une grandeur nulle de l'espèce considérée; mais il y a une sorte de nécessité rationnelle, en ce sens que si Ton ne peut trouver une telle grandeur, cette espèce de grandeurs ne sera pas mesurable. En effet, dire que dans un système de grandeurs il n'existe aucune grandeur nulle, cela veut dire que l'addition de ces grandeurs n'a pas de module, ou plutôt qu'il n'y a aucune combinaison de ces grandeurs qui mérite le nom d'addition. Dès lors, on ne peut représenter les grandeurs de ce système par des nombres, et elles échappent à toute détermination mathématique, à toute relation quantitative, à toute loi scientifique. Telle est l'unique sanction des axiomes de l'addition. Une grandeur qui violerait les axiomes de l'égalité serait inconcevable, ou ne serait pas une grandeur; une grandeur qui viole les axiomes de l'addition est tout au

naison commutative et associative ayant un module nul. » Enlin il postule la proposition : « La somme de deux grandeurs n'est nulle que si toutes deux le sont », qui est pour nous un corollaire de Y axiome VI, et formule Yaxiome IV et Yaxiome de la différence en y introduisant tout de suite les modifications

UC IIIUS, VJI* lllipVi>V I«» I1VHUH ^M\t QIWI.Vt^M. ..W..V v. Hliv tllUilll.IV UIUUIOIIV V. * llll

peu violente. C'est pourquoi nous avons préféré la définir comme le module de l'addition.

CU. II. — AXIOMES DE L'aDDITIOX 403

plus inintelligible, en tant qu'elle ne tombe pas sous les prises de la science.

15. Ces considérations font valoir le caractère rationnel et a priori de tous ces axiomes, que certains mathématiciens sont enclins à regarder comme des vérités d'expérience; en quoi ils s'accordent, du reste, avec les philosophes de l'école empiriste. De tout ce qui précède il ressort clairement, croyons-nous, que les axiomes de l'égalité et ceux de l'addition reposent sur Vidée d'égalité et sur Vidée d'addition, le mot « idée » étant pris dans un sens platonicien, et signifiant un type universel et abstrait que les choses sensibles imitent ou dont elles participent plus ou moins imparfaitement; seulement, il faut ajouter que si nous retrouvons ces idées dans les objets concrets et dans leurs relations, c'est parce que la raison introduit ces relations dans les choses, leur impose ses formes a priori, et les façonne pour ainsi dire à l'image de ces idées pures !. Par exemple, une relation empirique de deux objets sera regardée comme une égalité de grandeurs, si elle vérifie les axiomes de l'égalité; et de même, une combinaison physique d'objets sera regardée comme une addition de grandeurs, si Ton peut y intervertir l'ordre des objets à combiner et en remplacer plusieurs par leur combinaison effectuée *. C'est à ces conditions que ces objets eux-mêmes, ou plutôt certains attributs homogènes de ces objets, pourront être considérés comme des grandeurs mesurables. Il n'est donc pas étonnant que les axiomes de l'égalité et ceux de l'addition se vérifient sur les grandeurs physiques, puisque nous n'admettons comme égalités physiques que les relations qui vérifient les uns, et comme additions physiques que les combinaisons qui vérifient les autres *. Ainsi les principes de la science des grandeurs sont, d'une pari, des postulats qui ont besoin, pour avoir une valeur objective, d'être vérifiés par expérience; et d'autre part, des axiomes nécessaires a priori, en tant qu'ils résultent des formes idéales sous lesquelles on doit subsumer les choses sensibles pour les rendre intelligibles et scientifiquement connaissables : de sorte qu'avant d'être des lois de la nature, ces principes sont d'abord des lois de la raison.

1. Cela veut dire qu'il conviendrait de corriger le réalisme objectiviste de Platon par Vidéalisme transcendental de Kànt.