CHAPITRE

THÉORIE DE LA MESURE DES GRANDEURS (scite) I AXIOMES DE LA DIVISIBILITÉ ET DE LA CONTINUITÉ

11 importe, avant d'aller plus loin, de remarquer que Ton a pu définir l'égalité et l'addition des grandeurs sans les supposer composées d'unités, c'est-à-dire de grandeurs de même espèce toutes égales entre elles l. Il en résulte que Ton peut comparer les grandeurs d'une même espèce et établir entre elles des relations définies sans les traduire en nombres. Il y a plus : l'hypothèse en question est non seulement inutile, mais gratuitement restrictive, car, ainsi qu'on le verra bientôt, ce serait appauvrir et mutiler un système de grandeurs que de les supposer toutes composées d'unités semblables et égales, et de réduire ce système aux grandeurs exprimables eh nombres entiers, c'est-à-dire commensurables. Ainsi l'idée de grandeur en général, et les notions de l'égalité et de l'addition des grandeurs sont essentiellement indépendantes, en principe, de la possibilité de décomposer les grandeurs en unités égales, et par suite de leur appliquer le nombre *. Cette remarque a une portée philosophique capitale : car cela veut dire, en somme, que l'on peut penser les grandeurs et les relations de grandeurs sans leur attribuer une commune mesure, et sans les assimiler à des nombres entiers. Elle suffit à ruiner, en ce qui concerne les grandeurs, la prétendue loi du nombre.

Mais si les axiomes de l'égalité et de l'addition suffisent à rendre les grandeurs comparables entre elles, ils ne suffisent pas à les rendre mesurables, c'est-à-dire représentables par des nombres. La