CU. III. — AXIOMES DE LA DIVISIBILITE

mesure des grandeurs exige donc d'autres axiomes, de nouveaux postulats, qui résultent moins de la nature propre et intrinsèque des grandeurs que de l'obligation qu'on s'impose de leur appliquer les nombres; ils expriment, au fond, les conditions nécessaires à cette application. Aussi restreignent-ils arbitrairement l'idée de grandeur telle qu'elle est suffisamment caractérisée par les axiomes déjà énumérés. On peut dès lors s'attendre à ce que l'idée de grandeur réagisse contre ces postulats et prenne pour ainsi dire sa revanche, en imposant à son tour une extension forcée à l'idée de nombre à laquelle on veut la soumettre; la grandeur, reprenant ses droits, fera éclater le cadre du nombre où l'on prétend l'enfermer, et le nombre irrationnel est en quelque sorte la réponse de la grandeur continue à la contrainte du nombre. Tel est, résumé d'avance en quelques mots, le conflit qui va s'engager entre le nombre et la grandeur continue qu'il essaie d'élreindre, et sur laquelle il sera finalement obligé de se mouler.

1. Nous avons déjà défini, pour les grandeurs, des combinaisons nommées addition et soustraction, qui jouissent des mêmes propriétés que les opérations correspondantes de l'Arithmétique. Pour achever le parallélisme entre les nombres et les grandeurs, grâce auquel on pourra représenter celles-ci par ceux-là, nous allons définir des combinaisons de grandeurs analogues à la multiplication et à la division des nombres entiers.

Définition. — La somme de n grandeurs égales à une grandeur A se représente par : r?A, et s'appelle un multiple de A (plus exactement : le n-uple de A).

La grandeur »A existe toujours, puisque c'est une somme particulière, et est une grandeur de même espèce que A, en vertu de l'axiome I de l'addition. Elle est d'ailleurs unique, l'addition étant une combinaison univoque. Cette proposition pourrait s'appeler : Axiome de la multiplication.

Il est sous-entendu que n est un nombre entier, puisque nous ne connaissons jusqu'ici que des nombres entiers !.

Du moment qu'on sait effectuer la somme de deux grandeurs de l'espèce de A, on sait former la grandeur nA, par la suite d'opérations qu'indiquent les formules :

i. En général, les minuscules représenteront des nombres; les majuscules continueront à représenter des grandeurs.

2A +Àr: 3A

(h — - 1) A h- A - nA.

Former la grandeur nX au moyen de la grandeur A, cela s'appelle multiplier la grandeur A par le nombre n.

Malgré cette expression, il ne faut pas considérer wA comme un produit véritable f; en effet, ce produit symbolique n'est pas commutatif : multiplier un nombre par une grandeur n'a aucun sens. Le nombre n n'y joue pas le rùle de facteur, mais celui de coefficient. H possède dans cette expression le sens de nombre cardinal, comme il ressort de la définition même (« n grandeurs égales à A »). Aussi l'expression wA est-elle ce que Helmuoltz appelle un « nombre dénommé », c'est-à-dire un nombre concret, une somme d'unités : A indique l'espèce des unités sommées, n est leur nombre cardinal. Pour en donner des exemples particuliers, l'expression mA est la forme générale et abstraite d'expressions telles que : « 3 mètres » ou « 5 grammes », c'est-à-dire plus explicitement : « une longueur égale à 3 mètres, un poids égal à 5 grammes ».

La multiplication ainsi définie n'est qu'un cas particulier de l'addition des grandeurs, à savoir le cas où toutes les grandeurs à ajouter sontégales. Aussi differe-t-elle complètement d'une autre multiplication des grandeurs, qui n'a que le nom de commun avec elle : on entend par là une combinaison de deux grandeurs de même espèce, et non une combinaison d'une grandeur et d'un nombre. Dans ce second sens, le produit de la multiplication peut être, soit une grandeur de même espèce, soit une grandeur d'espèce différente : le premier cas a lieu dans l'espèce de grandeurs nommées vecteurs dans le plan [cf. i,c Partie, 111, iv, 19]; le second cas a lieu pour les grandeurs géométriques : par exemple, le produit d'une longueur par une longueur est une surface, de sorte que si les deux facteurs sont des nombres de mètres linéaires, leur produit est un nombre de mètres carrés 8. Les mêmes remarques et les mêmes distinctions s'appliquent à la division, dont nous allons traiter à présent; quand