Stolz, Arithmétique générale, vol. I, chap. vu
â. On définit même des produits de grandeurs d'espèces différentes, le produit étant une grandeur d'une espèce différente des deux premières : ainsi une force est le produit d'une masse par une accélération. Cf. Helmuoltz, op. cit., p. i0-o2.
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Cil. III. — AXIOMES DE LA DIVISIBILITÉ 407
nous parlerons de la divisibilité des grandeurs, il s'agira de leur division par des nombres entiers, et non par d'autres grandeurs de même espèce ou d'espèce différente '.
2. Nous pouvons formuler comme suit Vaxiome de la multiplication, qui n'est pas un principe nouveau, mais un simple corollaire de Vaxiome I de l'addition :
« Étant donnés une grandeur A et un nombre entier n, il existe une grandeur B de même espèce telle que
B = nk. »
La réciproque de cette proposition constitue un nouvel axiome, indépendant de tous les précédents, et qu'on appelle :
Axiome de la divisibilité*. — « Étant donnés une grandeur A et un nombre entier n, il existe une grandeur B de même espèce telle que
mB — A. »
Le sens de l'expression «B est déterminé par la définition énoncée précédemment [1]. Le nouvel axiome signifie que toute grandeur (A) est divisible en un nombre quelconque (n) de parties égales, qui sont des grandeurs de même espèce (B).
La grandeur À est le n-uple de la grandeur B; inversement la grandeur B s'appelle la ne partie de la grandeur A, ou plus brièvement le n° de A, ce qui s'écrit
ou
Cette notation équivaut, par définition, à la formule
hB=A.
On démontre aisément que la grandeur B est unique. Trouver celte grandeur B en partant de la grandeur A, c'est ce qu'on nomme diviser la grandeur A par le nombre n.
On établit ensuite les théorèmes suivants, qui résultent des axiomes de l'addition et des définitions précédentes :
1. Exemples : le quotient de deux vecteurs est un autre vecteur; le quotient «l'un volume par une longueur est une surface, le quotient d'une force par une accélération est une masse.
2. Stolz, op. cit., chap. v, axiome IV. Cf. 1" Partie, III, u, 6; m, 2.
408 uv. n. — de l'idée de grandeur
1° ?i (A -+- B) = «A-hï?B
mi
wA
mA
mX n
Cette dernière égalité signifie que le n° de la grandeur mA est égal
au ?H-uple de la grandeur—; en d'autres termes, que Tordre dans
lequel on multiplie une grandeur A par un nombre m et la divise par un nombre n est indifférent. Il en résulte que l'on peut représenter le résultat de cette double opération par la notation :
le coefficient symbolique — indiquant qu'on doit prendre m fois le ri*
de la grandeur A. La grandeur B ainsi obtenue est dite égale aux m/w68 de A.
L'égalité
équivaut à l'égalité
ÎÎÎA = B
En effet, Tune et l'autre équivalent à l'égalité
mA = nB
en vertu des définitions et notations convenues.
Il est donc inutile et même illégitime d'attribuer au coefficient
m symbolique —, composé de deux nombres entiers, le sens de quo-
tient ou même de fraction, car toutes les formules où il figure ne supposent que l'idée de multiplication, et s'interprètent aisément comme telles '.
1. Voir Hklmhoi.tz, op. cit. : Multiplication des nombres dénommés (p. 50).
2. Cette remarque est due à M. J. Tanxery, que nous ne cessons de suivre dans toute cette théorie de la mesure des grandeurs.
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