Lemme. — Si Ton a

A = /*B, A' = nB\

on doit avoir :

suivant que

et réciproquement.

Corollaire. — On peut multiplier ou diviser par un même nombre les deux membres d'une égalité ou d'une inégalité entre des grandeurs.

Cela posé, on démontre sans peine les théorèmes suivants :

3o w + w A=gA+w-A;

q \n ] nq

y \w / nq

Ce sont en somme, comme on voit, les règles du calcul des fractions que l'on retrouve ainsi, grâce à l'application des nombres entiers aux grandeurs divisibles, qui les transforme en nombres dénommés. L'idée de la divisibilité numérique n'intervient nullement dans ces démonstrations, qui reposent uniquement sur la divisibilité des grandeurs '.

1. On peut môme se demander si la divisibilité des grandeurs est nécessaire pour concevoir et formuler de telles relations. Depuis que ces lignes sont écrites, M. J. Tannery a bien voulu nous communiquer ses doutes à ce sujet. Comme nous l'avons déjà remarqué, les égalités :

reviennent en définitive à celle-ci :

wA = nB,

qui repose uniquement sur la multiplication des grandeurs. On pourrait interpréter de même toutes les formules qui semblent impliquer la division des grandeurs. Cette conception parait logiquement irréprochable; reste à savoir si clic est • raisonnable ». (Voir plus bas, p. 413, note 1.)

On peut enfin démontrer la règle ou condition d'égalité des fractions, sans les considérer comme des quotients, ce qui, au point de vue arithmétique, serait absurde. Supposons en effet que Ton ait les deux égalités de grandeurs :

d'où :

La première égalité équivaut il

mA = nB, et la seconde à

p\ = <jrB.

Or la première peut s'écrire :

mqk = vqB, et la seconde :

np\ = m/B; d'où :

mq\ = npA, ou :

mq = np,

car deux multiples d'une même grandeur ne peuvent être égaux que

si leurs coefficients numériques sont égaux. On conviendra donc de

tin t) regarder dans ce cas les deux coefficients symboliques — et £ comme

égaux, puisque les deux grandeurs qu'ils désignent sont égales (et formées d'une môme grandeur A), c'est-à-dire qu'on écrira

lorsqu'on aura

mq = » p.

Ces deux formules seront équivalentes par définition [cf. lrû P. 1, i, 2]. Dans le cas particulier où

n = 1, il vient :

mq = p,

ce qui montre que m est le quotient de p par q. D'autre part, le coeffi-

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