CU. III. — AXIOMES DE LA DIVISIBILITÉ 4M

cient symbolique j- signifie que Ton prend m fois la grandeur considérée :

Il doit donc être regardé comme égal au nombre entier m. Ainsi, dans ce cas, Ton peut dire que le coefficient symbolique (fraction)

est égal au quotient de p par q, car

Mais celte proposition n'est vraie, et même n'a de sens, que dans ce cas seulement [cf. in P. I, i, 16].

Nous considérerons désormais comme acquise toute la théorie des fractions, puisque nous venons d'en établir les principes essentiels par la considération des grandeurs divisibles [cf. lro P., L. I, Ch. i].

4. L'axiome qui nous reste à formuler peut en un sens être considéré comme l'inverse du précédent, ainsi qu'il ressort de la similitude des énoncés.

Axiome d'Arcuimède !. — « Étant données deux grandeurs inégales de même espèce

il existe un nombre entier n tel que l'on ait

wB > A. »

En d'autres termes, si grande que soit une grandeur A, et si petite que soit une grandeur B de même espèce, on peut toujours trouver un nombre entier assez grand pour qu'en multipliant B par ce nombre on obtienne une grandeur supérieure à A.

On remarquera que la formule de cet axiome contient le signe de Tinégalilé, et non le sii:ne de l'égalité, comme celle de Vaxiome de la divisibilit*'*. En effet, celui-ci pose l'existence d'une grandeur B qui soit exactement le nc de la grandeur donnée A; tandis que, deux grandeurs A et B étant données, on ne peut affirmer que la plus grande soit un multiple exact de la plus petite. Tout ce que Vaxiome d% Archimède permet d'affirmer, c'est qu'il y a un multiple de la plus petite qui est supérieur à la plus grande; autrement dit, cVst qu'en ajoutant B un nombre suffisant de fois à elle-même on

1. Stoi.z, op. cit., chnp. v, axiome V. Cf. 1" Partie, III, m, 2.

finit par atteindre ou dépasser A. Ainsi, tandis que, étant donnés une grandeur A et un nombre n. il existe toujours une grandeur B qui soit le nc de A, il est faux, en général, qu'étant données deux grandeurs inégales, l'une soit le n* de l'autre, ou l'autre le n-uple de la première; il serait même absurde d'exiger que toutes les grandeurs d'une même espèce fussent des multiples exacts de Tune d'entre elles, tandis que les nombres entiers sont tous des multiples exacts de l'unité, c'est-à-dire du nombre 4. C'est encore là une différence tranchée entre les nombres et les grandeurs, qui ne permet pas d'appliquer à celles-ci la loi du nombre.

5. Corollaire. — « Étant données deux grandeurs inégales de même espèce

il existe un nombre entier n tel que l'on ait

En effet, il suffît de diviser par n les deux membres de l'inégalité qui traduit Y axiome d'Archimède pour trouver l'inégalité que nous venons d'écrire, ce qui est permis en vertu d'un corollaire du lemme énoncé plus haut [3J.

Cette proposition est très importante : elle signifie que, si grande que soit une grandeur A, et si petite que soit une grandeur B de même espèce, on peut trouver un nombre assez grand pour qu'en divisant A par ce nombre on obtienne des grandeurs inférieures àB. C'est ce qu'on exprime en disant qu'on peut diviser une grandeur donnée en parties (toutes égales entre elles) plus petites que toute grandeur donnée. Le corollaire de Y axiome d'Archimède mérite donc le titre &% Axiome de la divisibilité indéfinie.

Il faut bien remarquer que cet axiome est indépendant de tous les précédents, et n'est nullement une conséquence de Yaxiome de la divisibilité : en effet, celui-ci pose l'existence de la n° partie de

A ( -j, et cela quel que soit n; de plus, on peut démontrer que

c'est-à-dire que quand n croît, - décroît; mais il ne s'ensuit pas que,

quand n croit indéfiniment, — décroisse indéfiniment et devienne

Cil. III. — AXIOMES DE LA DIVISIBILITÉ 4 f 3

plus petite que toute grandeur donnée. C'est ce que nous apprend le nouvel axiome. A ce titre, il joue un rôle capital dans la mesure des grandeurs, car il permet de les mesurer avec une approximation indéfinie, ainsi qu'on le verra plus loin.

6. On appelle mesure d'une grandeur le coefficient numérique par lequel il faut multiplier une autre grandeur de même espèce, dite unité de mesure, pour former la grandeur considérée.

L'unité de mesure (par abréviation, Vunité) est une grandeur quelconque de l'espèce considérée, choisie arbitrairement et une fois pour toutes.

Nous connaissons jusqu'ici deux espèces de coefficients : 1° les nombres entiers; 2° les fractions, qui ne sont rien de plus que des couples de nombres entiers.

Etant données une grandeur A et une autre grandeur B de même espèce, prise pour unité, deux cas peuvent se présenter (on verra bientôt que ce ne sont pas tous les cas possibles) :

1° La grandeur A est multiple de la grandeur B :

A = rwB.

Dans ce cas, le nombre entier m est la mesure de A par rapport à

l'unité B. C'est le nombre de fois que la grandeur A contient la

grandeur B.

2° Les grandeurs A et B sont multiples d'une même grandeur M

(de même espèce) :

A = «M, B = bM;

d'où :

Dans ce cas, la mesure de A par rapport à l'unité B est la fraction

j , formée par les deux coefficients entiers a et b qui définissent les

grandeurs A et B comme multiples d'une même grandeur M; autrement dit, chacun des nombres entiers a et b indique le nombre de fois que la grandeur correspondante contient la grandeur M !.

1. Ces considérations permettent peut-être de justifier la nécessité au moins rationnelle de Y axiome de ta divisibilité (voir p. 409, note 1). On peut, il est vrai, définir la mesure de A par rapport à B sans faire intervenir l'idée de division, en disant que cette mesure est t si l'on a

b\ = aB.

Mais est-ce bien là ce qu'on entend par mesure d'une grandeur? Quand par exemple on dit qu'une longueur est de 99 centimètres, veut-on dire que le

Remarque. — Dans l'un et l'autre cas, les nombres employés pour exprimer la mesure d'une grandeur sont des « nombres de fois », c'est-à-dire des nombres entiers ayant le sens de nombres cardinaux. Ce n'est donc pas, à proprement parler, un rôle nouveau que jouent les nombres entiers dans leur application à la mesure des grandeurs.

Définition. — On appelle grandeurs commensurables (entre elles) deux grandeurs qui sont multiples d'une même grandeur (ou, en particulier, multiples Tune de l'autre 1).

De ce qui précède il résulte que toute grandeur commensurable avec la grandeur-unité a pour mesure un nombre entier ou une fraction (ensemble de deux nombres entiers).

Réciproquement, toute grandeur mesurable au moyen d'un nombre entier ou d'une fraction est commensurable avec la grandeur adoptée pour unité.

En résumé, toutes les grandeurs que nous savons mesurer jusqu'ici sont les grandeurs commensurables avec l'unité de mesure.

7. Or, s'il y a une vérité capitale dans la science des grandeurs, c'est que toutes les grandeurs d'une même espèce ne sont pas commensurables entre elles; à plus forte raison ne sont-elles pas commensurables avec l'une quelconque d'entre elles, prise pour unité. Pour abréger, appelons rationnelles les grandeurs commensurables

centuple de cette longueur vaut 99 mètres, ou plutôt que cette longueur contient 99 centièmes de mètre? En d'autres termes, l'idée qu'on se fait naturellement de la mesure se traduit, non par l'égalité précédente, mais bien par celle-ci :

qui sans doute est logiquement équivalente à la première, mais qui suppose la divisibilité des grandeurs. Ainsi la première formule n'est qu'une manière artificielle et détournée d'écrire la dernière. D'ailleurs, ce détour même n'élude pas la nécessité d'admettre la divisibilité des grandeurs. En effet, si l'on a deux grandeurs A et B qui vérilient la relation (purement multiplicative)

on pourra retrancher B de A, et l'on obtiendra la grandeur représentée par

- : donc la grandeur B sera divisible par n.

1. Voici comment M. Stolz (op. cit., chap. v) définit, d'après les Anciens, les grandeurs commensurables :

« Si une grandeur A est multiple d'une grandeur M, celle-ci est dite mesure de A. Si deux grandeurs (A et B) de même espèce ont une commune mesure (M), elles sont dites commensurables. •

Nous avons évité d'employer le mot mesure dans ce sens, après l'avoir défini dans un autre sens, ce qui pourrait prêter à confusion. On voit que notre déânition coïncide au fond avec celle de M. Stolz.

; DE LA COVTiM'ITE

4li

unité choisie, ei irralionnelUi les. grandeurs incommensurables avec l;i mime unité. Si l'on prend pour nouvelle uniU une grandeur

ii nensurable avec la première uniii"-, toutes les grondeurs aupa-

i.'i i c 1 1 rallotuiettea deviendront irrationnelles, et parmi le* anciennes grandeurs irrationnelles, une infinité (mais non pas toutes deviendront rationnelles; Je aorte qu'il y a toujours infiniment plus de grandeurs Irrationnelles que île rationnelles, quelle que soit la grandeur prise pour unité

D'autre part, puisque le choix de l'unité de mesure est absoloiiliiiI arbitraire, il est inadmissible que lu « mesurubilîté " d'une grandeur donnée, c'est-à-dire la possibilité de la représenter par un nombre, dépende de ce choix, et que, selon que l'unité adoptée sera . ■..iiiuiensiirnble ou incommensurable avec celte grandeur fixe et déterminés, celle-ei aii ou n'ait pas de mesure. On est donc obligé d'étendre la notion de mesure mémo aux grand euri incommensurables av« L'unité, el par suite d'invcaler, pour exprimer la mesure de ces grandeurs, une nouvelle espèce de nombres qu'on appelle nombres irrationntlt', par opposition aux nombres entiers et aux. Fractions, qui expriment la mesure des grandeurs rationnelles;, el que, pour celle raison, on appelle nombres rationnel*.

L'existence des grandeurs irrationnelles, ou plus généralement, de grandeurs incommensurables entre elles, est une conséquence de la continuité essentielle à la grandeur. Il s'agit de définir celle continuité, qui est la dernière propriété .le l'idée de grandeur, e'est-àdire la plus complexe et la plus importante. Pour cela, remarquons d'abord que tout,.' grandeur donnée permet de répartir les autres grandeurs de même espèce en deux classes, dont ['une, dite elau* inférieure, contient toutes tes grandeurs plus petites, et l'autre, dite datte supérieure, contient toutes les grandeurs plus grondes que la grandeur considérée. Lin vertu d'une propriété de l'inégalité démontrée précédemment [ir, 10] (Si A : B. Il ; C, on a : A : C), toutes les grandeurs de la classe inférieure sont plus petites qu'une grandeur quelconque Je la classe supérieure, et toutes les grandeurs de la classe supérieure sont plus grandes qu'une grandeur quelconque de la classe inférieure. Si l'on range la grandeur considérée elle-même dans l'une ou l'autre des deux classes, on aura ainsi réparti toutes les grandeurs du système en deux classes telles, que Imites les grandeurs de l'une soient plus petites que toutes les grandeurs de l'autre; on dira que celle répartition définit la grandeur

considérée, au moyen de laquelle on Ta effectuée, et qui est, soit la plus grande de la classe inférieure, soit la plus petite de la classe supérieure (ces deux modes de répartition étant considérés comme équivalents). Inversement, on dira que la grandeur considérée représente ces deux modes de répartition !.

8. « L'essence de la continuité consiste dans la réciproque de la proposition précédente », qui est une conséquence évidente des axiomes de l'égalité; on peut donc la définir par le principe suivant * :

Axiome de la continuité. — « Si Ton peut répartir toutes les grandeurs d'une même espèce en deux classes telles que toutes les grandeurs de Tune soient plus petites (ou plus grandes) que toutes les grandeurs de l'autre, il existe une grandeur de cette espèce qui représente ce mode de répartition, et qui est à la fois plus grande que toutes les grandeurs de la classe inférieure et plus petite que toutes les grandeurs de la classe supérieure. »

Cet axiome est indémontrable, et pourtant il possède une évidence presque égale à celle des jugements analytiques. C'est qu'il repose sur l'idée intuitive de la grandeur, et formule un de ses caractères essentiels. Que cette idée nous vienne de l'intuition sensible ou d'une intuition rationnelle, peu importe ici; c'est une question que nous réservons pour la fin de cet Ouvrage [IV, m]. Toujours est-il qu'il nous paraît impossible de concevoir un système de grandeurs réparti en deux classes telles que l'énoncé les définit, sans admettre l'existence (idéale, bien entendu) d'une grandeur intermédiaire qui les distingue et marque leur séparation. C'est là un jugement essentiellement synthétique, car il conclut l'existence d'une grandeur de l'existence de grandeurs différentes; reste à savoir s'il est <i priori. En tout cas, il ne parait pas vrai seulement pour telle ou telle espèce particulière de grandeurs, mais pour la grandeur en général, pour toute espèce de grandeurs.

11 va sans dire que si la grandeur qui représente le mode de répartition considéré est supposée déjà donnée, elle sera la plus grande de la classe inférieure ou la plus petite de la classe supérieure. Dans le cas contraire, ce mode de répartition servira à définir cette gran-

1. Dedekind, Sletigkeit und irralionale Zahlen, § 2, III. Nous étendons à uu système de grandeurs quelconque les propositions de cet auteur relatives au système des longueurs, ou plutôt à l'ensemble des points d'une ligne droite.