Dedekind, op. cit.,, § 3 (Continuité de la ligne droite

Cil. III. — DE LA MESURE DES G&AKDEBHS

deur unique et déterminée, qu'on pourra ensuite ranger dans une classe ou dans l'autre, de manière à répartir, suivant l'énoncé, toutes les grandeurs de la même espèce entre ces deux classes. De loute Ijnni. l'axiome subsista, k la condition d'entendre que la grandeur ainsi dêlïnie est plus grande que toutes les autre* grandeurs de la classe inférieure, si elle appartient a celle-ci, ou plus petite que toutes les i'uIiys £rnrtili.'i>rs (|i; |;L dusse supérieure, si elle lui appartient.

Il n'est pas sans intérêt de remarquer, à ce propos, que non seulement une proposition n'engendre pas nécessairement sa réciproque, mais que la réciproque peut avoir une importance et une valeur beaucoup plus grande que la proposition directe. C'est ce qu'on a déjà pu observer plus haut pour Vaximtte <l>- td dieisiHKti ; cela est encore plus frappant pour l'axiome 'Ir la continuité, qui est la réciproque d'une proposition toute simple et presque banale, cl qui a par lui-même une telle gravité et une telle fécondité '.

9. Exposons maintenant comment on procède pour mesurer une grandeur, c'est-a-dire pour trouver le nombre qui la représente. Soient A la grandeur a mesurer, B la grandeur prise pour unité. On cherchera d'abord si A contient D un nombre exact de fois, c'est-àdire si A est un multiple de H ; ce qui ne peut avoir lieu que si

Pour cela, on formera les multiples successifs de la grandeur B.

et on les comparera à la grandeur A an point de vue de l'égalité et de l'inégalité. En vertu de l'axiome d'Arch'imv.d?, il y aura dans cette suite un premier multiple supérieur à la grandeur A : soit

Dans ce cas, ou bien le multiple immédiatement précédent m,H est égal à A, et alors A est un mulliple de B et a pour mesure le nombre entier m,\ ou bien m,B est inférieur à A, cl il est évident que A

I. On lira ilans la Note IV [S VI, 69) 10 définition que -M. CifiTim dMM de la ronlinuite; elle implique cellr-i'i, car die suppose donné lin espace eoniiini ;i «dimensions. La définition de M. Deokiijmi concorde d'ailleurs an fond «vec celle de M. Ctvron. En effet, en vertu de l'axiome d'Archhnède, le lyattnM de grandeur» niu-driVrë est déjà run'ierc |v. Ir" l'ortie Livre III, eh. in, 4; cf. Stoli, op. cit., c.hap. v). Kn vertu de l'axiome de la continuité, il est en outre parfait, comme le reconnaît M. Castor {Grundlagtn tintr altgemeintn MannKhfattitititÊ- Irhre, § 10, fini. Il possède donc tous les caractères par lesquels M. Ca.itoii délini! le continu.

ne peut être un multiple de B, tous les multiples de 6 étant ou inférieurs à mjB ou supérieurs à (m, -h 1) B :

m,B < A < (ml -f- 1) B.

11 reste alors à savoir si A et B sont multiples d'une même grandeur, c'est-à-dire si A est multiple d'une partie aliquote de B. Pour procéder méthodiquement, on cherchera d'abord si A est un

multiple exact de la grandeur 5 î ce qui ne peut avoir lieu que si

3< A. On opérera avec la grandeur -^ comme ci-dessus avec la grandeur B, et l'on arrivera, en vertu de Vaxiome (TArchimède, à

un premier multiple de ^ qui sera supérieur à A, soit

Dans ce cas, ou bien le multiple précédent sera égal à A,

c'est-à-dire

alors A a pour mesure la fraction -^ ; ou bien

et alors A ne peut être un multiple de ^

On cherchera ensuite, de la même manière, si A est un multiple

B R R exact de 7» , de -j , de - , Si A et B sont commensurables,

on doit nécessairement finir par trouver une partie aliquote de B,

- par exemple, que A contienne un nombre exact de fois, soit mn;

on aura alors :

A — mn - --- — B, n n

et -• sera la mesure de A par rapport à B.

Si au contraire A et B sont incommensurables, la suite des opérations dont nous venons d'indiquer la règle se poursuivra sans fin ; elle sera interminable. Il semble donc que dans ce cas la grandeur A ne puisse avoir de mesure par rapport à l'unité B.

C'est néanmoins cette suite illimitée d'opérations de mesure, dont chacune est infructueuse, qui va servir à définir, non pas approximativement, mais en toute rigueur, la mesure de A par rapport à B, au moyen d'un nombre irrationnel.

En effet, si grande que soit l'unité B, et si petite que soit la grandeur à mesurer A, il y aura toujours, en vertu des axiomes de la divisibilité, une partie aliquote de B qui sera inférieure à A, soit :

A partir du moment où l'on aura trouvé celte partie aliquote de B, toutes les parties aliquotes successives

seront inférieures à A et de plus en plus petites. On pourra donc effectuer sur chacune d'elles les opérations indiquées plus haut, c'est-à-dire comparer leurs multiples successifs à la grandeur A. En vertu de Yaxiome (TArchiînède, on trouvera chaque fois un premier multiple supérieur à A, de sorte que la grandeur A sera comprise entre ce multiple et le multiple précédent; par exemple :

Puisque, par hypothèse, les grandeurs A et B sont incommensurables, on ne pourra jamais trouver A égal à un multiple quelconque d'une partie aliquote quelconque de B, et par conséquent A sera toujours compris entre deux multiples consécutifs de chacune d'elles. De plus, en vertu de Yaxiome de la divisibilité indéfinie, la différence

de ces deux multiples, soit - , deviendra plus petite que toute grandeur donnée, n croissant indéfiniment. La grandeur A sera donc enfermée entre deux suites infinies de grandeurs commensurable» avec B, dont la différence décroit indéfiniment :

m,B < A < (wi, -4- 1) B

On dira alors que le nombre x qui mesure A vérifie les inégalités correspondantes (en nombre infini) :

Wi,

Wl-

c'est-à-dire qu'il est enfermé entre deux suites de nombres rationnels dont la différence (- j décroît indéfiniment, et peut devenir

aussi petite qu'on veut. D'ailleurs, il est clair que tous les nombres de la première suite

ma m

sont plus petits que tous les nombres de la seconde suite

mi ^ È » 2 ' n '

On démontre aisément qu'ils vérifient les conditions de la définition du nombre irrationnel [v. lre Partie, I, îv, 9, 19]; donc ces deux suites de nombres rationnels définissent un nombre irrationnel a, dont ces nombres sont les valeurs approchées par défaut

et par excès à i, ~ , -, près.

Ce nombre irrationnel a substitué à x vérifie, par définition, les inégalités précédentes; d'ailleurs il est le seul, car, par hypothèse, aucun nombre rationnel ne peut les [vérifier, [et d'autre part le nombre irrationnel défini par les deux suites est unique. Le nombre unique a sera donc, par définition, la mesure de A par rapport à B, et Ton conviendra d'écrire

Ar.»B,

- DE LA MESUIŒ DES GIIAINUEITIS

comme si lagrandeur B multipliée par le nombre % reproduisait la grandeur A (opération qui n'a plus do sens ici ').

10. !!■'-< ii"-i"i>fuir„i. soit un nombre irrationnel *. Ce nombre ne signifie rien de plus, au point de vue arithmétique, qu'un certain mode de répartition de tous le* nombres rationnels en deux classes jouissant des propriétés énoncées. Soit d'autre part une grandeur I! quelconque, Si on la multiplie par tous les nombres rationnels, on obtient (eu vertu des axiomtt 4t fa multiplication et 4t ta d'nùsilnluê) des grandeurs de même espèce, qui seront commenta râbles avec B. Ces grandeurs auront entre elles les intimes relations d'inégalité que les nombres qui les mesurent par rapport â l'unité B (coefficients de B). Elles formeront donc, elles aussi, doux eluseï telles que toutes les grandeurs de l'une soient plus petites (ou plus grandes) que toutes celles de l'autre; et de plus, elles vérifient Y axiome d'Arc/nWrfe, de sorte que la différence entre deux grandeurs appartenant respectivement aux deux classes peut être prise aussi petite qu'on le veut. Dans ces conditions, en vertu de Y axiome de In continuité, il existe xma grandeur qui est â la fois plus grande que toutes celles de la classe inférieure et plus petite que toutes cellei de la classe supérieure : il est naturel de faire correspondre cette grandeur A au numbre irralionnel %, On dira doue qu'elle a pour mesure te nombre •*, et l'on écrira a A -- a B.

i - 1 ■ 1 1 e grandeur A, qui sépare les deux classes de grandeurs déterminées par le nombre a, est d'ailleurs unique, car si deux grandeurs inégales A et A' existaient entre ces deux classes, la différence de deux grandeurs prises à volonté dans les deux classes ne pourrait .-Ire inférieure à la différence (A — A') ni, par suite, devenir plus petite que toute grandeur donnée.

On voit maintenant que c'est bien l'axiome de. l« continuité qui fonde l'existence des grandeurs incommensurables. Il ne faut pas croire, d'après ce qui précède, que ce soit les nombres irrationnels qui révèlent cette existence et engendrent en quelque sorte les grandeurs incommensurables ; c'est au contraire les grandeurs incommensurables qui exigent, pour être mesurées, la création de nouveaux nombres, et fout ainsi toute la valeur des nombres

irrationnels1. Sans doute, ceiwc-ci, une fois créés, se détachent, comme les nombres rationnels, des grandeurs qui leur ont donné naissance, et deviennent des symboles indépendants susceptibles de relations abstraites; mais il ne faut pas oublier que leurs relations, ainsi que celles des nombres fractionnaires, ne sont que le décalque des relations concrètes entre les grandeurs qu'ils représentent; ce ne sont, en principe, que des coefficients d'une grandeur unique prise pour unité, avec laquelle on essaie de construire toutes les autres. « On essaie », disons-nous, car on n'y réussit que pour les grandeurs commensurables avec l'unité choisie, et l'existence des grandeurs incommensurables prouve que toutes les grandeurs ne sont pas les multiples d'une seule et même grandeur. Il est donc absurde de vouloir engendrer toutes les grandeurs d'une même espèce au moyen d'une grandeur unique, par des divisions et multiplications successives, ayant pour coefficients des nombres entiers (finis). La loi du nombre, suivant laquelle toutes les grandeurs seraient mesurables exactement en nombres entiers par une même unité, est contradictoire avec l'idée même de grandeur.

1. D'ailleurs, Vaxiome de la continuité s'applique aux grandeurs, et non pas aux nombres, du moins primitivement; il ne s'applique aux nombres que par l'intermédiaire des grandeurs, comme l'a fort bien montré M. Dedekikd {op. cit.. §§ 3 et 5). Cf. i" Partie, Liv. IIÏ, Chap. ni. 8.