LE NOMBRE CONÇU COMME RAPPORT LA GRANDEUR INFINIE

Nous savons à présent mesurer toutes les grandeurs d'un système continu, c'est-à-dire les représenter par des nombres : à savoir, les grandeurs commensurables avec l'unité choisie, par des nombres rationnels; les grandeurs incommensurables, par des nombres irrationnels. Mais par là même l'idée de nombre se trouve extrêmement élargie, et l'ensemble des nombres s'est infiniment étendu. En effet, nous ne connaissions d'abord que les nombres entiers ; nous avons ensuite conçu les fractions comme des couples de nombres entiers, et nous les avons appelées nombres rationnels; enfin, nous avons désigné certains modes de répartition de la totalité des nombres rationnels en deux classes par des symboles, que nous avons nommés nombres irrationnels. Il s'agit de savoir si ces divers symboles ne sont des nombres qu'en vertu de définitions de mots et de conventions arbitraires, ou s'ils peuvent rentrer, avec le nombre entier, qui seul jusqu'ici mérite le nom de nombre, sous une idée générale qui justifie l'application de ce nom à des concepts aussi divers. Il ne faut pas oublier, en effet, que le nombre (entier) est essentiellement une collection d'unités, et n'a pas d'autre sens : c'est à ce titre qu'il est intervenu dans la mesure des grandeurs, pour exprimer le nombre cardinal des unités (de grandeur) que contient une grandeur donnée (dans le cas, bien entendu, où elle est un multiple exact de l'unité de mesure) [m, 6, Remarque']. Or ni le nombre rationnel, ni surtout le nombre irrationnel ne rentrent dans cette définition du nombre; dans quel sens peut-on les appeler des nombres?

1. Nous avons écarté, au début de ce Livre, la définition courante

■ DE L*IDÊB DE GIIANIIEI'H

du nombre comme expression de la mesure (t'ont- grandeur, parée qu'une telle définition ne peut évidemment servir a enrichir et à étendre l'idée de nombre, el au contraire la suppose déjà acquise. En t'ITel, si l'un peul exprimer la mesure d'une grandeur par un nombre entier, par exemple, c'est qu'on a préalablement défini le nombre entier comme nombre cardinal; on peul alors compter les unités additionnées pour former la grandeur donnée, el représcnler celle-ci par le wimbre de ces unités. Mais si l'on n'a pas défini les nombres rationnels, on ne pourra pas mesurer les grandeurs rationnelles, nu du moins exprimer leur mesure par uti nombre; et si l'on n'a pas défini les nombres irrationnels, les grandeurs irrationnelles ne seront pas mesurables, Il ne serl dune de rien de définir le nombre par la mesure, car la mesure elle-même implique la notion de nombre, nue grandeur n'élanl. mesurable qu'auLanlque l'on poSBède un nombre qui puisse la représenter. Le nombre ne peut pas plus être défini comme résultai d'une mesure que comme résultai d'un dénombrement : l'un el l'autre emploi du nombre supposent qu'on en a déjà l'idée préconçue, el l'application qu'on en fait, soil aux pluralités discrètes, soit aux grandeurs continues, ne peul rien ajouter a cette idée, encore moins l'engendrer.

2- Ces objections ne s'appliquent pas à une autre définition du nombre, qui a un caractère éminemment philosophique et qui s'autorise d'un grand nom : à savoir la définition du nombre comme expression du rapport de deux grandeurs. Voici COmmenl >i " i"> la formule, au dêbul de son Ariihmetica umtOTMlû :

■< Ter mioieruin, abslractam qnanlilalîs cujusvis ad alla m ejusdem generis quanlilatem, quœ pro uni la te habelur, rationem inlelligimus '. ■■

Cette définition, qui ramène l'idée de uombre à l'idée plus générale de rapport, est propre à justifier les nombres rationnels el irrationnels : enr ils représentent évidemment les rapporta de toutes les grandeurs coinmensiirahles et incommensurable 3 avec la gra prise pour unité, c'est-à-dire tous les rapports concevables cuire des grandeurs absolues *.