I. Cité par Srow, op. cil., vol. I, clmp. vi

i. Otta iil.< du rapport n'e-t pas cotilinée, comme celle de mesure. dUM le domaine -tes grandeurs absolues cl linéaires : i-lli' peut servir encore n jusOtier

les n lires i|u»lilii's fl complexe», par ta considération <lu rapport (coin plexe,

lui aussi; des vecteurs <ln plan, ijui comprend h la fois un rapport de grandeur el un rapport de direction [v. (" Partie, Livre III, Ctiap. iv, 1»].

■ LE NOMBRE CQXtli i:i)MHE KAITOHT

3. [lesta 'i savoir ce que l'on doil entendre, dans Cette formule, par rapport. Les malhémaUcieos ne verraient dons celte définition qu'un cercle vicieux, parce qu'ils définissent, au rebours, la rap* porj parie nombre; ils disent en effet :

» Le rapport d'une grandeur A à nue autre grandeur B de même •spéce est le nombre qui mesure A quand ou prend B pour Bcité, >u, comme on dit plus brièvement, la mesure de A par rapport à B. » est clair que si nous n'avions pas d'autre idée du rapport, de grandeurs que celle qui ressort de celle définition, noua n'aurions jamais le d mil de définir le nombre comme lui rapport. Faut-il donc admettre que la définition de NBWTOH renferme une pétilion de principe, et qu'elle ne signifie rien au fond? Nous ne le lensons pas, et voici pourquoi. L'idée de rapport est manifestement générale que l'idée de nombre (entier) que nous possédons usqu'iei : il est donc permis de croire qu'elle lui est antérieure, ins rationnellement. De plus, on ne pourrait jamais, comme nous venons de le montrer, sortir du domaine du nombre entier si ! mi 1 '-'ii tenait h la conception du nombre comme collection d'imitée ; 1 faut donc faire appel à quelque autre idée plus générale, sous ."|ii'lli' I niée de nombre entier puisse être comprise comme cas larliculier. Enfin, on ne peut pas, on l'a vu, mesurer tontes les grandeurs au moyen du nombre entier, de sorte que l'on n'arrivera jamais à concevoir le rapport de deux grandeurs quelconques de même espèce, si l'on déliuil ce rapport par le nombre qui mesure

l'i [iiand on prend l'autre pour unité. Pour toutes ces raisons,

Pidée de rapport nous parait antérieure aux idées de nombre et de >ure, bien loin d'en être dérivée.

Nous n'ignorons pas que nous renversons ainsi l'ordre logique des notion h mathématiques les plus essentielles; mais ce n'est pas la première foïa que l'ordre logique se trouve être contraire & l'ordre rationnel '. Nous accorderons aux savants le droit de définir 1 idée mathématique de rapport par l'idée de nombre et celle de mesure; mais en retour, nous leur demandons la liberté de rechercher l'idée pkihiopftique de rapport, sur laquelle repose l'idée générale de nombre, et sans laquelle aucune mesure ne serait possible ni même concevable. C'est parce qu'on a déjà l'idée du rapport de deux grandeurs qu'on cherche à l'exprimer pur un nombre (entier), et que, si

l. Cf. Livre I, Ch. m, 10 et il.

Ton n'y réussit pas, on crée d'autres nombres qui puissent le représenter; de sorte que si Ton peut définir scientifiquement le rapport par un nombre, c'est que ce nombre a été inventé tout exprès pour définir le rapport déjà pensé. En un mot, l'idée mathématique de rapport n'est que la traduction arithmétique de l'idée philosophique de rapport.

4. Que l'on ne nous demande pas de définir cette idée de rapport, encore moins de démontrer qu'elle existe; toute définition et toute démonstration reposent sur des concepts logiques préalablement posés, et il ne s'agit pas ici du concept logique et scientifique de rapport, mais de l'idée rationnelle dont il est l'expression. Tout ce que nous pouvons faire, c'est de montrer cette idée, c'est d'essayer de la faire voir, puisqu'aussi bien elle est l'objet d'une intuition pure. Elle existe dans l'esprit dès que Ton pense deux grandeurs et qu'on les embrasse dans un même acte intellectuel qui constitue la comparaison. Du moment où Ton a l'idée de deux grandeurs de même espèce, elles sont comparables entre elles : bien plus, elles sont déjà comparées, puisqu'on les conçoit comme étant de même espèce, et qu'on les réunit sous l'idée générale de leur espèce commune. En même temps, on les pense nécessairement (en vertu de Y axiome I de l'égalité) comme égales ou inégales : c'est une première relation qu'on établit entre elles, un premier « rapport » que l'on découvre en les comparant l'une à l'autre. Si elles sont inégales, on est amené à penser Tune d'elles comme la somme de l'autre et d'une troisième grandeur de même espèce (en vertu de Vaxiome V de l'addition) : c'est une nouvelle relation qui apparaît, un nouveau « rapport » sous lequel on les considère.

Mais à tous ces rapports (rapport d'inégalité, rapport d'addition ou différence) s'ajoute l'idée d'une autre relation, qui sera l'idée du rapport proprement dit d'une grandeur à l'autre, de leur rapport de grandeur. Il faut bien se garder de le définir par exemple par leur quotient; car ce serait déjà les supposer commensurables, hypothèse illégitime qui a beaucoup de chances d'être fausse. Au contraire, si l'on songe à chercher combien de fois (quotiens) Tune contient l'autre ou une partie aliquote de l'autre, c'est pour obtenir une expression numérique de ce rapport idéal que l'on pense en les pensant toutes deux ensemble. L'idée de quotient repose sur l'idée de rapport, comme l'idée de différence repose sur l'idée de cette autre espèce de rapport que nous avons appelé rapport d'addition. Si l'on