CU. IV. — LE NOMBRE CONÇU COMME RAPPORT

conçoit quatre grandeurs A, B, C, D sous le rapport de l'addition, on dira que A est à B comme C est à D, quand on aura

Si au contraire on les conçoit sous le rapport de la multiplication, on dira que A est à B comme C est à D, si Ton a

Mais, lors même que les quotients qui forment les deux membres de cette proportion n'auraient pas de sens (ne seraient pas des nombres entiers), c'est-à-dire lors même que A et C ne seraient pas des équimultiples de B et de D, on n'en aurait pas moins l'idée de deux rapports de grandeur égaux, ou plutôt identiques f.

Prenons un exemple : soient deux carrés quelconques, dont les côtés aient des longueurs quelconques; menons une diagonale dans chacun d'eux. On sait que chaque diagonale sera incommensurable avec le côté du carré où elle se trouve; en outre, il se peut que les deux côtés eux-mêmes soient incommensurables entre eux. Soient G et G' leurs longueurs, D et D' les longueurs des diagonales correspondantes ; la proportion

qui s'énonce : « G est à D comme C est à D' », n'en a pas moins un sens parfaitement clair, alors que les deux membres de cette égalité ne sont pas des nombres. Dire que le rapport de grandeur de G et de D est le même que celui de C' et de D', c'est énoncer une proposition intelligible, bien que ces deux rapports ne puissent s'évaluer en nombres (rationnels).

L'idée du rapport de deux grandeurs est donc indépendante de sa traduction arithmétique et antérieure à elle; car il faut d'abord la penser en elle-même pour pouvoir la représenter par un nombre. On n'a pas besoin d'avoir mesuré deux grandeurs pour avoir l'idée de leur égalité ou de leur inégalité, ni pour penser leur différence ; dans l'exemple précédent, on sait fort bien que la diagonale du carré est plus grande que le côté, et l'on peut construire leur différence, sans supposer pour cela que ces deux longueurs aient une commune mesure (qui n'existe pas). De même, pour penser le rapport de deux grandeurs, il n'est nullement nécessaire que ces gran-

i. Cf. Stolz, op. cit., vol. I, chap. vi.

lu. il. — un l'iuki: m: c.rasueir

deurs soient exprimées en nombres, ni même qu'elles soient exprimables en nombres : il suffit qu'elles soient pensées ensemble 61 comparées entre elles, en Uni que grandeurs.

5. En particulier, deux grandeurs incommensurables ont entre elles un rapport déterminé, et loin qu'il puisse se définir par le nombre irrationnel qui mesure l'une par rapport a l'autre, M nombre irrationnel n'a de sens et de raison d'être que comme expression de ce rapport. Ko eirel, un nombre irrationnel n'est pas autre chose, en Arithmétique pure, que le symbole d'un certain mode de répartition de la totalité des nombres rationnels en deux classes; or, pourquoi et comment effectue-t-on celte répartition, si ce n'est en cherchant dans les nombres rationnels s'il s'en trouve un qui exprime un certain rapport donné, et en séparant ceux qu trouvent trop grands de ceux qui se trouvent trop petits? Dîra-t-on que deux grandeurs n'ont entre elles un rapport que si elles sont COtnmensurables, Bl b! ce rapport peut se délinir par deux nombres entiers? Mais il serait absurde de soutenir que, de deux grandeurs infiniment peu différentes dont l'une sérail commensurable et l'autre incommensurable, la première seule ait un rapport avec lt grandeur prise pour unité; de sorte que, lorsqu'une grandeur varie d'une valeur à une autre quelconque, elle passerait par une infinité d'étals où elle n'aurait pas de rapport avec l'unité, parmi une infinité d'autres états ou elle aurait avec l'unité des rapports détermines. Deux grandeurs qui n'auraient entre elles aucun rapport intelligible ne pourraient entrer dans aucune relation mathématique; or nous voyons au contraire la diagonale du carré liée au BOlé par une relation géométrique constante et très simple, qui délinil le rapport de ces deux grandeurs d'une manière exacte et

rigoureuse; et certes, il y a peu de rapports entre grnudeur-s c

raensurables qui soient plua Faciles s concevoir et à comprendre que le rapport de ces deux grandeurs incommensurables, que l'on prétend ne pas exister '.

6. Bien mieux : les nombres rationnels, eux aussi, ne petivenl être coaena comme nombres que grâce à l'idée du rapport qu'ils expriment; car c'est ce qui expliqua que l'ensemble de deux nombres i entiers) rangés dans un certain ordre puisse être considéré comme un seul nombre. Soient deux grandeurs co m me n su râbles A et B. Par

I. HBotmta, Prïneipt» <U lu Watttrt, i. |. p. 7 si M. (Ct, lll,

CB. E». — LE NiiMBKE CONÇU CllMHE RAPPORT 429

bjpolbèaè, elles tonl multiples fane même grandeur M, et l'on a : A = «M, H MI.

Ou écrit alors

et l'on dit que -, est. le nombre qui mesure A quand B est prise pour unité. Mais, à proprement parler, -r n'est pas un nombre : c'est l'ensemble des lieux coelïieieiits qui servent de mesure a A et à B considérées comme multiples de la grandeur M. Pour pouvoir dire que "-. eal un nombre, il faut faire appel à l'idée de rapport, et concevoir que le rapport des grandeurs A et B est le mèmt que celui des nombres entiers a el b. donl chacun désigne le nombre de fois que la grandeur correspondante contient la grandeur M. C'est ainsi que l'on peut représenter le rapport des deux grandeurs par le rapport de deux nombres, et définir la mesure de A par rapport a B en donnant les deux nombres entiers a et b. En résumé, l'on ne peut pas, rationnellement, définir le rapport de deux grandeurs par le nombre qui mesure l'une par rapport à ['autre, car, tout au contraire, l'ensemble des deux nombres entiers qui expriment celte mesure ne devient Un nombre que lorsqu'on a défini le nombre comme le rapport de deux grandeurs.

7. Enfin les mêmes considérations s'appliquent au nombre entier lui-même. Sans doute, il possède par lui-même un sens, en tant que collection d'unilés, el c'est en ce sens qu'il sert à la fois à la mesure et au dénombrement, attendu que la mesure d'une grandeur multiple de l'unité se ramène à compter combien de foi s cette grandeur Contient l'unité. Néanmoins, le nombre entier n'a le sens de mesure que si on le considère, lui aussi, comme un rapport, à savoir comme le rapport de ce nombre lui-même iv l'unité. En effet, une grandeur, même mesurée par un nombre entier, n'est pas conçue comrne une collection d'unités : quand on parle d'une longueur de trois mètres ou d'un poids de et» q grammes, on ne pense pas une collection de troii longueurs égales à un mètre ou de cinq poids égaux à un gramme; on pense une seule grandeur, dont le rapport à l'unité (métré ou gramme) est exprimé par le nombre entier 3 ou 5. Qu'estce a dire, sinon que ce rapport n'est complètement représenté que par deux nombres, dont le second est l'unité? Le résultai de la

i .jo LtV. II. — DR L IPKE t>E

mesura devrai! bo formuler i.-x plii-it^mont comme suit : h Celte longueur csl â la lougucur-unité comme le nombre 3 est au nombre I, car elle contient trois fois la longueur que l'unité contient une ton Il faut Jonc concevoir le nombre entier lui-môme comme un rapport de deux nombres, c'esl-a-dire comme un nombre rationnel, et l'.i-i ir« nus forme de fraction : ';, 7. Ainsi les nombres entiers rentrent comme cas particulier dans les nombres rationnels : ce son! des rapports dont le second terme est I '. On voit que le nombre entier lui-même ne sert a la mesure des grandeurs qu'autant qu'il exprime un rapport; et c'est l'idée de rapport qui unit [se deui sera et le double emploi du nombre (mesure et dénombrement).

8. Il y g plus : c'est cette même idée de rapport qui relie le système des nombres à chaque système de grandeurs! et pérorai d'établir entre eux un parallélisme parfait en créant au besoin dM nombres nouveaux. En effet, les nombres sont, par essence, tout différents des grandeurs, malgré l'analogie purement formelle des opérations aritlimé tiques et des combinaisons de grandeurs, analogie qui s'arrête d'ailleurs après les axiomes de l'addition. No» s parlons, bien entendu, de la seule espèce de nombres qui ail un sens M Arithmétique pure, à savoir des nombres entiers. Les emtma B*e ta (Uvmbiiitè ne Mandent s'y appliquer en principe, encore moins l'axiome de la continuité; aussi marquent-ils une différence prnfVnide entre les grandeurs, divisibles et continues, et les nombres entiers.

Ce contraste s'accuse dans l'opposition des deux sens que l'on allrihue tour à tour au mot unité. L'unité numérique, dont la répétition constitue le nombre entier, est essentiellement indivisible :c'ewl Vu» absolu et simple; on peut le poser ou ne pas le poser, mais on ne peut pas poser moins que un : c'est l'élément primitif et irréductible du nombre. Au contraire, l'unité de mesure est une grandeur quelconque, qui ne se distingue des autres grandeurs de même i par aucun caractère intrinsèque, et dont le choix est par suite enl \iremonl arbitraire. Bile est divisible, comme les autres, en un nombre quelconque de parties, toutes égales entre elles, et toutes semblables è elle-même. Chacune de ces parties peut, on l'a vu, jouer

l. De cette Mflirallation résulte In conception des rapports comme quotients,

ttUnda que, lorsque iIpuï numhres soûl iliïisiliti-s l'un par I' ■-. \ew ■

■ b) égal I i luotienL Mais il faut se Karder de définir le rapport an général

intumi' quotient, car au contraire la notion du quoi [eut de deus n ombra ne •■ fîalratiM que grâce :i l'Idée et rapport

en n — LE NOMBHE GOKGU COMME BAfTOBT tai

à son tour le rôle d'unité, BW elle possède [«s urëmes propriétés

que l'unité primitive, al ul susceptible du né s dii isdoné, En un

mot, L'unité de grandeur est une grandeur indiscernable des autres grandeurs dé menti tepèe* '- Aussi les (fraudeurs sont-elles purement relatives les unes aux autres, et offrent entre elles les mêmes rapports, quelle que soi! la grandeur choisie pour unité; tandis que ÉMU l'ensemble des nombres il y a un élément absolu, l'unité, qui est la « commune mesure » de tous les autres nombres.

Le I ibre-uuilé et la grandeur-uni te ont donc des caractères bien

tranchés el même opposés; mais comme mi retrouve entre les grandeurs les mêmes rapports qui existent entre les nombres (parmi beaucoup d'autres rapports qui n'existent pas entre les nombres), il est naturel d'exprimer ces rapports par les deux nombres qui en sont les termes, attendu que l'idée d'un rapport déterminé est indépendante de la nature des termes qui le composent. On est ainsi amené a faire correspondre les nombres aux grandeurs, de lelie sorte qu'il y ait entre deux grandeurs le même rapport qu'entre les deux nombres correspondants. En particulier, on devra commencer par choisir une grandeur correspondant au nombre 1 (à l'unité numérique), et c'est cette grandeur que l'on nommera unité de mesure ou grandeur-unité. On le voit, la relation qui existe entre l'unité de

i. ' "i-ii--.ni I vportdmat entre FAlgibm <■( (s Gtomitrt*, eh. m, i i:i| a cru

trouver dans le caractère arbitraire de l'unité de grandeur la raison d'Ain dm

■ ainsi que celle des nombres négatifs lions le caractère arbitraire ilu lira : l'Invention des nombres fractionnaires permettrait de changer d'unité,

« ! celle des nombre. m-iMiir-, ■ J • ■ changer le zéro. Celle analogie est plus

ingénieuse qu'exacte : car ce qui justifie les nombres fractionnaires, c'est n\na\ tout la divisibilité des grandeurs, el en particulier de l'unité de mesura. Ion même qu'elle serait immuable; le caractère arbitraire de l'unité n'est qu'une . 'iii~i.|iiiii. . i. eess'ure tir. la divisibilité, lit- même, ce qui justifie les nombres nègalifs, c'est proprement l'existence de grandeurs a. deux sens inverses, lors même qu'on ne pourrait pas y déplacer l'origine. Si, en effet, dans certaines. i-i- initiiirs lincaires et continues, telles que la température, le choix du /'io i -i arbitraire, il n'en est pas toujours ni nécessairement ainsi, comme le prouve

l'i-M'injile classiq In bilan ■ I ■ i négociant (où l'actif el le passif se comptent à

partir d'un wn essentiellement fixe) ou encore celui de la charge d'électricité: (positive ou négative), où le xéro correspond naturellement h l'état neutre du conducteur (quand il esl mis en communication avec la terre). L'analogie du Strt et de l'unité réside plutôt dans ce fait, que (fixes ou mobiles) ils soni pour ainsi dire le centre ou le pivot, l'un de l'ensemble des nombres qualifiés (el par suite nus*- des nombres complexes : voir i" P. IV, iv, *), l'autre de

l'ensemble dee bree rationnels : dans le premier, les nombres se i-oriïs-

pondent un .1 nu par rapport au ;cVo (nombres xymttiir/uex) : dans le - .-mul, par rapport à l'unité inombres innereet). Celte analogie s'explique pal le rôle

Iule que joueul respective menl les nombres U el. I. l'un dans les opérations addiiives. l'aulre dans les opérations multiplicatives [et I" I'. II. u, 13].

- hé l'iiiér de grandeur

grandeur cl L'unité de nombre est une correspondance tout a Tait conventionnelle; l'unité no s'applique a la grandeur que par un décrcl arbitraire de l'esprit, attendu qu'il n'existe pas. dans le domaine de ta grandeur, d'unité véritable et naturelle, d'élément simple et absolu,

Une fuis l'unité de grandeur choisie, la mesure de toutes les grandeurs de l'espèce considérée est implicitement déterminée. Mais de ce que le choix de la fraudeur- uni té est absolument arbitra suit que la correspondance entre chaque nombre et une grandeur quelconque esl, elle aussi, tout à fail artificielle, et n'a aucune raison d'être dans la nature île la grandeur, M serait dune absurde de s'imaginer que telle grandeur doive avoir pour mesure tel nombre plutôt que tel uulre, à plus forte raison que telle grandeur ioi(, en ellemême et primitivement, un nombre déterminé; car il n'y a pas pftti de nombre, naturel inhérent à la grandeur que d'unité naturelle parmi toutes les grandeurs de même espèce. Le fait d'être représentée par tel ou tel nombre constitue pour une grandeur une dénomination extrinsèque, comme le choix de la grandeur-unité donl ce lait dépend. !><■ même que toute grandeur peut ôlre prise indifféremment pour unité, chaque grandeur est susceptible indifféremment d'un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel; elle les admet tous, sans distinction, et ne manifeste de préférence pour aucun. Il esl presque ridicule d'insister sur des vérités si simples al si évidentes, du moins pour les mathématiciens; mais DOU8 i sommes obligé, pour réfuter les philosophes qui, encore aujourd'hui, soutiennent que la grandeur esl composée d'éléments indivisibles. et que chaque grandeur contient un nombre Uni cl déterminé de ces éléments.

9. La toi du nombre n'est pas seulement un postulat arbitraire et illégitime, comme nous venons de le montrer; elle est au fond rontradictoire, car elle identifie deux idées irréductibles l'une a I ■ celle du nombre el celle de lu grandeur. Nous avons suflisainment fait ressortir le contraste qui existe entre le< propriétés Bseantiellea de ces deux idées : nous avons fait voir comment, malgré la diversité de leur nature, l'idée de rapport établissait entre elles une anal ■:/"■' ' qui permet de représenter les grandeurs par les nombres, OU, plus exactement, certains rapports de grandeur (et non tous) par is propre et étymologique, i]iii epi properlfto