LE NOMME CONÇU COMME HAI'J'OUT

les rapports des nombres. Il n'y a donc, encore une fois, enlre la grandeur et le nombre qu'un lien extérieur el artificiel, une simple correspondance qui n'altère eu rien leur nature propre el leur caractère original. Or, ce lien tout conventionnel, les partisans de la loi du nombre le transforment en un lien naturel el réel : ils substituent a la correspondance une véritable assimilation, une identité de nature entre le nombre et la grandeur; et en réunissant ainsi de force deux idées aussi opposées, ils y enferment la contradiction.

En particulier, en identiliant l'unité numérique et l'unité de grandeur, ils sont fatalement amenés, soit à concevoir le nombre 1 comme divisible, ce qui est absurde, soit à admettre une grandeur indivisible, U qui est contradictoire'. D'une manière générale, en confondant les nombres avec les grandeurs, et en posant en principe que les grandeurs sont des nombres, ils s'engagent dans des difficultés inextricables, attendu qu'ils mélangent deux ordres d'idées indépendants et hétérogènes, et se condamnent à ne rien comprendre, ni à la géôéralisalion du nombre, ni à la mesure des grandeurs. A l'une et à l'autre Us opposent une foule de contradictions qui ne font que traduire, sous des formes diverses, la contradiction initiale qu'ils ont impliquée dans leurs hypothèses. Aussi les prétendues antinomies qu'ils ont cru découvrir dans les principes des Mathématiques ne prouvent-elles qu'une chose : c'est que l'-m ne doit pas, sous peine '!■ contradiction, identifier les grandeurs ans nombres, et imposer la toi du nombre aux grandeurs continues qui y répugnent. Cette Conception philosophique par trop simpliste était admissible au temps de Pytiiagore, où l'on commençait seulement à entrevoir la possibilité de l'appliculion des nombres aux grandeurs; mais la découverte des grandeurs incommensurables aurait du suffire a la ruiner sans retour. Platon ! s'indignait de l'ignorance dis Hellènes de son temps, qui croyaient à l'existence d'une commune mesure entre toutes les grandeurs de même espèce; que dirait-il, s'il savait qoe, vingt-trois siècles après lui, il se trouve encore des philosophe] pour concevoir le coté du carré et sa diagonale comme eomposée tous deux d'un nombre fini de points ou d'éléments?

10- De toutes ces contradictions que l'on a prétendu trouver dans l'application du nombre à la grandeur, la plus célèbre et la plus

'* lu ifpUibilitt [Chsp.

, ai.

frappante est celle du nombre infini; elle se résout, comme toutes les autres, par les considérations que nous venons d'indiquer. Loin de prouver le moins du monde l'impossibilité d'une grandeur infinie, cette contradiction apparente se retourne contre les auteurs qui s'en sont servis comme d'un argument métaphysique, et montre simplement l'absurdité de la loi du nombre, dont on prétend la déduire. Nous avons établi, dans le Livre I [Ch. iv, 17], qu'il n'y a aucune contradiction à concevoir une collection infinie, et par suite à penser le nombre infini comme nombre cardinal d'une telle collection. Nous allons montrer à présent que rien n'empêche de concevoir un rapport de grandeurs infini, ni par suite de penser le nombre infini comme symbole d'un tel rapport.

Tout d'abord, il faut remarquer que tout rapport de grandeurs est essentiellement réversible : car l'idée du rapport de deux grandeurs données est, en principe, indépendante de l'ordre dans lequel on les considère : le rapport de B à A est dit inverse du rapport de A à B, et si celui-ci existe, l'autre doit aussi exister. Par exemple, si les deux grandeurs sont commensurables, c'est-à-dire si l'on a

A = aM, B = JM,

le rapport de A à B est j ; le rapport de B à A est l'inverse, soit

- . Les deux nombres a et b jouent le même rôle et figurent symétriquement dans le rapport '. Si l'un est la mesure de A par rapport à l'unité B, l'autre sera la mesure de B par rapport & l'unité A; tous deux sont donc des nombres au même titre, car ils représentent, en somme, un seul et même rapport.

D'autre part, nous avons pose en principe que deux grandeurs de même espèce, quelles qu'elles soient, ont toujours entre elles un rapport de grandeur, qu'il soit ou non exprimable au moyen des nombres que nous possédons déjà. Or il y a, dans chaque espèce de grandeurs, une grandeur particulière qui est le module de l'addition, et que nous avons appelée nulle; il est indiqué de lui faire correspondre le nombre zéro, qui est le module de l'addition des nombres, et de la représenter par le chiffre 0. Mais il faut distinguer avec soin

\. C'est ce qui dislingue, idéalement, le rapport du quotient, où les deux nombres figurent respectivement comme dividende cl comme diviseur; et de la fraction, où les deux nombres figurent respectivement comme numérateur et comme dénominateur; de sorte que, leur ordre étant inhérent à l'idée de quotient et de fraction, on ne peut pas les intervertir.

le zéro de nombre et le zéro de grandeur, comme l'unité de nombre et l'unité de grandeur : il y a simple correspondance, et non identité. L'existence (idéale) de la grandeur nulle est absolument nécessaire pour que les grandeurs de la même espèce soient mesurables; aussi certains mathématiciens ' en font-ils un axiome ou un postulat spécial de la mesure des grandeurs.

La grandeur nulle a cette propriété particulière d'être toujours représentée par le nombre 0, quelle que soit la grandeur (non nulle) prise pour unité. En effet, quel que soit le nombre fini par lequel on multiplie la grandeur nulle, on obtient toujours la grandeur nulle elle-même (en vertu de Vaxiome du module, et en remarquant que la multiplication n'est qu'une addition répétée). Inversement, quel que soit le nombre fini par lequel on divise la grandeur-unité (non nulle), on n obtient jamais la grandeur nulle. Ainsi le rapport de la grandeur nulle à l'unité non nulle est plus petit que tout nombre rationnel (non nul) et ne peut être représenté que par le nombre zéro. Le rapport de la grandeur nulle à une autre grandeur quelconque est donc le même que le rapport du nombre 0 au nombre 1, lequel est égal, par définition, à 0, le rapport de chaque nombre à l'unité étant représenté par ce nombre lui-même; ce qu'on écrit *

Comme tout rapport, ce rapport doit avoir son inverse, car le rapport d'une grandeur quelconque à la grandeur nulle est tout aussi intelligible que celui de la grandeur nulle à une grandeur quelconque. Or les mêmes raisons qui font qu'aucun nombre rationnel ne peut représenter l'un permettent d'affirmer qu'aucun nombre rationnel, ne peut non plus représenter l'autre. Le rapport d'une grandeur quelconque à la grandeur nulle est plus grand que tout nombre rationnel ou entier; d'ailleurs, il est égal au rapport de toute autre grandeur (non nulle) à la grandeur nulle. Ce rapport, inverse du rapport désigné par 0, ne peut être représenté par aucun nombre rationnel ; on le représentera par le signe x , qui s'énonce :

infini, et l'on écrira

4. M. J. Tanner y, dans la leçon déjà citée [Chap. h, 13, note]. 2. On remarquera que le chiffre 0 n'a pas le môme sens dans les deux membres de cette formule : dans le premier il désigne un nombre, et indirectement

Ainsi le rapport inverse de zéro est un rapport infini. Il n'y a pas de raison pour ne pas admettre celui-ci quand on a admis celui-là, car ils sont donnés tous deux ensemble quand on compare entre elles la grandeur nulle et une autre grandeur quelconque '.

11. De plus, le même rapport (infini) qui existe entre une grandeur non nulle et la grandeur nulle peut encore exister entre une grandeur de la même espèce et une grandeur non nulle, prise pour unité. C'est ce que nous allons montrer par un exemple emprunté aux longueurs.

Considérons un cercle 0 de rayon 1 (c'est-à-dire dont nous prendrons le rayon pour unité de longueur) et sa tangente en A, qui est une droite indéfinie dans les deux sens (Fig. 31). Par le centre 0 menons une droite quelconque qui rencontre la circonférence en B et la tangente en C. Du point B abaissons sur le rayon OA la perpendiculaire BD; la tangente AC étant perpendiculaire au rayon OA, BD est parallèle à AC. Les triangles OAC, ODB sont donc semblables, et Ton a la proportion suivante entre les longueurs de leurs côtés homologues * :