LA GRANDEUR INFIME

chaque instant, égale au rapport des longueurs BD et OD. Or si le point B parcourt Tare de cercle (quadrant) AP, de A en P, il est évident que BD croîtra constamment, que OD diminuera constamment, et que par suite AG croîtra indéfiniment. Lorsque le point B sera en P (OP étant perpendiculaire à OA et parallèle à AC), BD coïncidera avec le rayon OP et sera égale à l'unité de longueur; OD se réduira au point 0 et aura une longueur nulle; que sera devenue AC? La longueur AC aura dépassé toutes les longueurs mesurées par des nombres rationnels, elle sera donc plus grande que toute longueur finie, c'est-à-dire qu'elle sera infinie. C'est ce que montre la proportion précédente, qui n'a pas cessé d'être vraie (en vertu du principe de continuité *) : car si l'on désigne par x le nombre qui mesure AC à ce moment, c'est-à-dire le rapport de AC à l'unité constante OA, et si l'on fait

BD = i, OD = 0,

on trouve

oo

Fig. 31.

Ainsi la longueur AC a atteint un état de grandeur dont le rapport à l'unité de longueur ne peut être représenté que par le rapport de cette unité à une longueur nulle, ou du nombre 1 au nombre 0; ce rapport est donc infini. Or si, conformément à la définition de Newton, tout rapport entre deux grandeurs de même espèce est un nombre, il faudra inventer un nouveau nombre pour représenter ce rapport, et admettre le nombre infini comme mesure d'une grandeur infinie. On devra considérer ce nombre infini comme plus grand que tous les nombres entiers et rationnels, puisque la grandeur infinie qu'il représente est supérieure à toutes les grandeurs finies que mesurent les nombres rationnels.

12. Ou uuus objectera peut-être qu'une grandeur infinie est inadmissible dans un système quelconque de grandeurs, attendu qu'une