Cf. i" Partie, Livre IV, Chap. ni

438 UV. II. — DE LIDÉE DE GRANDEUR

telle grandeur viole Yaxiome dArchimède [Ch. m, 4]. En effet* d'après cet axiome, si grande que soit une grandeur A, et si petite que soit une grandeur B, il existe un multiple de B qui est supé- i|

rieur à A :

nB > A.

Or la grandeur infinie est, par définition, supérieure à tous les multiples d'une grandeur finie quelconque; elle contredit donc Yaxiome d'Archimède.

Cette objection est fort juste. Mais la grandeur infinie ne fait pas -seule exception à Yaxiome d'Archimède ; la grandeur nulle l'enfreint également. En effet, si la grandeur infinie ne peut pas jouer le rôle de A dans la formule de cet axiome, la grandeur nulle ne peut pas davantage jouer le rôle de B. Étant donnée une grandeur A non nulle, il n'existe aucun multiple de la grandeur nulle qui soit supérieur à A, car tous ses multiples sont des grandeurs nulles, inférieures par conséquent à une grandeur non nulle quelconque. Comme on voit, la grandeur infinie et la grandeur nulle violent toutes deux Yaxiome d'Archimède, et sont logées aux mêmes enseignes. Elles devront donc subir le même sort, c'est-à-dire être admises ou rejetées à la fois '.

Or la grandeur nulle est indispensable à un système de grandeurs, et son existence est une des conditions essentielles de la mesurabililé de ces grandeurs, soit qu'elle résulte de l'axiome du module [u, 12], soit qu'elle s'impose a priori à titre de postulat indépendant a. On est donc absolument obligé de l'admettre, et de faire fléchir en sa faveur Yaxiome d'Archimède. On en est quitte pour réserver, dans l'énonce de cet axiome, le cas exceptionnel où la grandeur B serait nulle. On a déjà vu, d'ailleurs, que ce n'est pas la seule restriction que l'introduction de la grandeur nulle impose aux principes généraux de la science des grandeurs. Mais, quand ces exceptions devraient être encore plus nombreuses et plus graves, elles ne pourraient empêcher l'admission de la grandeur nulle parmi les autres grandeurs, où, de toute façon, elle joue un rôle à part et occupe une place privilégiée.

Si Yaxiome d'Archimède ne s'oppose pas à l'introduction de la grandeur nulle, il ne peut pas s'opposer davantage à l'admission de

1. Cf. 1™ Partie, Livre IV, Chap. iv, notamment 9; el Livre II, Chap. u, 25.

2. Comme dans la théorie de M. J. Tanner y [v. Chap. u, 13, note].

la grandeur infinie. Seulement il faudra l'exclure, elle aussi, de Ténoncé de cet axiome ; mais il n'en coûte pas plus de faire exception pour la grandeur infinie que pour la grandeur nulle, puisque toutes deux vont pour ainsi dire de pair. On restreindra donc Yariome cTArchimède, et toutes les propositions qui en découlent, aux grandeurs qui ne sont ni nulles ni infinies. C'est, du reste, ce que Ton fait couramment dans l'Analyse infinitésimale, où Ton emploie sans cesse la locution « valeur finie non nulle » pour spécifier quelles valeurs on envisage, et exclure à la fois la grandeur nulle et la grandeur infinie. Ainsi l'objection précédente, bien loin d'entraîner la condamnation de la grandeur infinie, concourt, au contraire, à la justifier, en montrant qu'elle est aussi légitime que la grandeur nulle, et qu'elle en forme en quelque sorte la contre-partie nécessaire.

En résumé, la même idée de rapport, qui a servi à étendre l'idée de nombre par la création des nombres rationnels et irrationnels, est aussi le fondement du nombre infini, conçu comme mesure d'une grandeur infinie. La grandeur nulle et la grandeur infinie constituent les deux états extrêmes de la grandeur; ce sont les limites de l'infiniment grand et de l'infiniment petit, et pour ainsi dire les deux pôles entre lesquels la grandeur finie oscille indéfiniment. L'une et l'autre échappent à la mesure et par suite à toute détermination numérique positive; mais il ne faut pas oublier que dans tout l'entredeux, rempli par les grandeurs finies, s'il se trouve une infinité de degrés auxquels le nombre (rationnel) peut s'appliquer, il s'en trouve une infinité d'autres qu'aucun assemblage (fini) de nombres ne peut représenter. Le nombre irrationnel n'est pas autre chose que le symbole de l'impuissance du nombre à exprimer la grandeur continue; le nombre infini est, lui aussi, un symbole de cette même impuissance; il a donc la même valeur que les nombres irrationnels. Comme eux, il témoigne de l'opposition de nature, de l'hétérogénéité radicale du nombre et de la grandeur; comme eux, il proteste contre la loi du nombre, car il manifeste la continuité essentielle de la grandeur, et il en proclame l'infinité.

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