LIVRE III

Dans les deux Livres précédents, nous avons justifié le nombre infini, tant comme symbole d'une grandeur que comme schème d'une collection, par des arguments positifs, tirés de l'analyse des idées de nombre et de grandeur; et nous avons montré qu'aucun obstacle logique, c'est-à-dire aucune contradiction, ne s'oppose à la conception, soit d'une pluralité infinie, soit d'une grandeur infinie. Il n'y a qu'une seule différence entre ces deux concepts : c'est qu'une multitude infinie est simplement possible, tandis que la notion d'une grandeur infinie est en quelque sorte nécessaire, car elle dérive naturellement de l'idée même de grandeur, dont la continuité et par suite l'infinité constituent des attributs essentiels.

Il nous reste à justifier le nombre infini par des arguments négatifs, c'est-à-dire en réfutant les objections et en levant les difficultés qu'on lui a opposées de tout temps, et que le néo-criticisme français a ressemblées dans sa célèbre Critique de Vin fini. On sait que les promoteurs de cette doctrine n'admettent pas plus le nombre infini que la grandeur infinie, soit in abstracto, c'est-à-dire dans l'esprit et en idée, soit in concreto, c'est-à-dire dans la nature ou dans la réalité. Pour discuter les raisonnements par lesquels ils ont cru démontrer cette quadruple thèse, nous suivrons l'ordre même que nous venons d'indiquer, et nous examinerons tour à tour le nombre infini :

4° Comme signe d'une pluralité idéale ;

2° Comme signe d'une pluralité réelle;

3° Comme symbole d'une grandeur idéale;

4° Comme symbole d'une grandeur réelle.

Pour la clarté et la commodité de la discussion, nous avons cru devoir la présenter sous la forme d'un dialogue entre le Finitiste et l'Infinitiste. Il va sans dire que ces deux interlocuteurs ne sont pas des personnages réels, mais simplement deux rubriques destinées à distinguer nettement les deux thèses en présence et à classer les arguments pour et contre l'infini.

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