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dont l'ensemble a le même contenu que la .première (et par suite la même puissance). Soit, par définition, w le nombre de la suite (I) ; c'est le nombre infini, ou plutôt le premier des nombres inûnis. Chacune des suites (II) et (111) a aussi pour nombre w; la suite formée par ces deux suites rangées Tune après l'autre a donc pour nombre

S'ensuit-il que le nombre infini w soit égal, comme vous dites, au double de lui-même? Nullement; les deux nombres infinis o> et2<o sont inégaux, et représentent deux suites différentes, Tune simple (I), l'autre double (II et III).

Fin. — Mais ce ne sont pas deux suites différentes, puisqu'elles contiennent exactement les mêmes nombres.

Inp. — Sans doute, mais dans un ordre différent. Or, rappelezvous que le nombre d'un ensemble infini dépend essentiellement de l'ordre de ses éléments; vous ne serez plus étonné que le même ensemble puisse avoir plusieurs nombres inégaux, correspondant à des types d'ordre différent. Vous voyez donc bien qu'il n'y a Ih aucune contradiction.

7. Fin. — Mais n'est-il pas encore vrai de dire, en faisant abstraction de leur ordre, que les nombres entiers sont plus nombreux que les nombres pairs, et même deux fois plus nombreux?

Inf. — Non, car l'idée du nombre d'un ensemble infini, abstraction faite de l'ordre de ses éléments, se réduit à l'idée de puissance. Or, à ce point de vue, l'ensemble des nombres pairs a la même puissance que l'ensemble des nombres entiers, ce qui veut dire simplement que ces deux ensembles sont infinis, et du même ordre d'infinité *. Mais la notion de puissance est si large et si élastique que des ensembles de même puissance peuvent avoir des contenus très différents et tout à fait disproportionnés. C'est ainsi, pour ne

1. De la même classe, pour parler rigoureusement (voir Note IV, § V, 58).

452 LIV. III. — LA CRITIQUE DE i/lNFINI

citer qu'un exemple, que l'ensemble des nombres rationnels n'a que la puissance de l'ensemble des nombres entiers ', alors qu'il semble infiniment plus infini que celui-ci; et effectivement, on peut lui imposer un ordre tel qu'il ait pour nombre : <o.w = <*>*. Tous ces paradoxes tiennent au symbolisme défectueux employé jusqu'à nos jours : on représentait indistinctement par oo tous les nombres infinis, de sorte qu'on était tenté de les considérer tous comme égaux, et de les réduire au nombre infini unique <o. Cette confusion cesse, grâce à la notation inventée par M. Cantor, et surtout grâce à la distinction de la puissance et du nombre des ensembles infinis; il est évident, dés lors, que deux ensembles peuvent avoir la même puissance sans avoir le même nombre, et, par suite, que deux nombres infinis peuvent être équivalents (de même puissance) sans être égaux. Vous ne direz donc plus que le nombre infini (w) est égal au double, au triple, etc., ou au carré, au cube, etc., de luimême, mais qu'il leur est équivalent : et vous ne pourrez plus lui reprocher d'être à la fois égal et inégal à lui-même.

8. Fin. — Il m'est bien difficile d'accepter toutes ces assertions, si étranges et si paradoxales; car elles me semblent violer cet axiome mathématique : Le tout est plus grand que la partie.

Inf. — Ce principe n'est pas du tout un axiome mathématique, car il ne peut avoir de valeur dans la science que si l'on définit avec précision ce qu'est le tout et ce qu'est la partie '. Si nous le traduisons en langage scientifique, nous l'énoncerons : « La somme de deux grandeurs est plus grande que chacune d'elles. » Sous celte forme, c'est un postulat relatif aux grandeurs linéaires absolues '. Mais c'est si peu une proposition analytique *, évidente par ellemême, qu'elle doit se vérifier en particulier pour chaque espèce de grandeurs, et qu'il existe des espèces de grandeurs qui ne la vérifient pas 5. Pour nous en tenir aux nombres, elle est vraie des nombres arithmétiques (positifs ou absolus); mais elle cesse d'être vraie pour les nombres qualifiés, la somme d'un nombre positif et