Axiome IV de l'addition [II, n

4. Quoi qu'en ait dit Kant, qui donne pour exemple de jugement analytique la formule : a + b > a (Critique de la Raison pure, Introduction, § V : 2-éd., p. 17).

5. Cela dépend à la fois de la définition de la somme de deux grandeurs de Pespèce considérée, et de celle de leur inégalilé.

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d'un nombre négatif étant plus petite que le premier, et la somme de deux nombres négatifs étant plus petite que chacun d'eux; enfin elle n'a plus de sens pour les nombres complexes, dont l'inégalité n'est même pas définie. Ce que nous disons des nombres s'applique également aux grandeurs qu'ils représentent, de sorte que l'axiome en question n'a pas de valeur dans le domaine des grandeurs dirigées ou vecteurs f.

En un mot, cet axiome n'est nullement un jugement nécessaire a priori; il est vrai ou faux suivant l'espèce de grandeurs ou de nombres à laquelle on l'applique. Il est vrai pour les nombres infinis conçus comme nombres ordinaux : car en ajoutant des unités à un tel nombre on forme un nombre différent qui est plus grand que le premier, par définition, parce qu'il vient après lui dans la suite régulière des nombres infinis (et non parce qu'il contient plus d'unités, ce qui n'a pas de sens mathématique). Mais il n'est plus vrai pour les puissances, qui sont les nombres cardinaux infinis : la somme de deux nombres de la même puissance est encore un nombre de la même puissance ; la somme de deux nombres de puissances différentes a la même puissance que celui des deux qui a la plus grande puissance. Ainsi, dans tous les cas, la puissance d'une somme est égale à la puissance de l'un des composants : c'est-àdire que la somme est non pas égale, mais équivalente à l'une de ses parties. En ce sens, le tout n'est pas plus grand que sa partie : mais cela n'est point contradictoire, car cela signifie simplement que le tout et la partie sont du même ordre d'infinité, ce qui ne les empêche nullement de différer par leur contenu. Vous pouvez, si cela vous plait, dire que le tout contient plus d'éléments que la partie, à la condition que ce mot « plus » désigne une sorte d'inégalité ontologique, mais nullement une inégalité mathématique : car, si disproportionnés que soient les deux contenus, ils sont équivalents au point de vue de leur multitude : ils ont la même puissance, et peuvent avoir le même nombre *.

Il n'y a donc aucune contradiction à ce qu'un ensemble infini puisse avoir le même nombre qu'une de ses parties intégrantes; bien plus, cette propriété constitue justement le caractère essentiel

i. Voir i" Partie, III, iv.

2. Cf. Castor, Mitteilungen zur Le tire vom Transfiniten, § V1I1 (Zeitschrifl fur Philosophie und philosophische Kritik, t. XCI).

des ensembles infinis, et peut leur servir de définition * : « Un ensemble infini est équivalent à quelqu'une de ses parties intégrantes. » Remarquez que Ton dit : « équivalent », et non pas « identique ». 11 n'y aurait contradiction que si Ton affirmait l'identité réelle et absolue du tout et de la partie; mais il n'y en a pas si Ton affirme leur égalité numérique, c'est-à-dire l'identité de leurs nombres. En d'autres termes, on ne les compare pas sous le rapport de leur réalité concrète, on n'affirme pas l'identité de leurs contenus : on les compare sous le rapport abstrait de la multitude, et l'on affirme seulement leur équivalence à ce point de vue tout extérieur et formel; cette équivalence est d'ailleurs relative à un certain ordre particulier imposé à tous deux. C'est ainsi que, pour revenir à votre exemple, la suite des nombres pairs peut être équivalente à la suite totale des nombres entiers, bien que celle-ci contienne d'autres nombres que la première; cela tient à ce fait que tout nombre entier a son double, de sorte qu'à chaque nombre entier correspond un nombre pair. Chose curieuse! cet argument par lequel vous croyez prouver l'absurdité du nombre infini se retourne contre vous. En effet, votre raisonnement repose sur cette double hypothèse : la suite des nombres pairs est équivalente à celle des nombres entiers, et elle n'en est pourtant qu'une partie; or cela démontre justement l'infinité absolue de l'une et de l'autre, en vertu même de la définition de l'ensemble infini.

9. En général, tous les arguments dirigés depuis des siècles contre la possibilité du nombre infini, ou mieux des nombres infinis, reposent sur deux principes absolument erronés, que je vais énoncer à présent, pour résumer notre discussion et en éclairer la suite :

1° Le nombre infini est le plus grand de tous les nombres ';

2° Tous les nombres infinis sont égaux.

Ces deux principes se ramènent du reste à un seul, à savoir qu'il n'y a qu'un nombre infini; car si l'on admet qu'il ne peut y avoir de nombre plus grand que le nombre infini, on en conclut immédiatement que tous les nombres infinis se réduisent à un seul.

Vous remarquerez que ces deux principes, je devrais dire ces deux hérésies, se trouvent invoqués à la fois dans le passage de la