Cf. Pillon, Année philosophique 1890, p
Critique philosophique que vous avez cité au début de notre entretien, où Ton reproche au nombre infini de « n'être pas le plus grand possible » et d' « être égal à des nombres plus grands que luimême ». Or le second principe avait déjà été dénoncé comme faux par Leibnitz '. Quant au premier, il a été expressément condamné par Kant. L'auteur de la Critique de la Raison pure * déclare renoncer aux arguments sophistiques et fallacieux fondés, « à la façon des dogmatiques », sur une conception vicieuse de l'infini : à savoir, que l'infini est une grandeur telle qu'il n'y en ait pas de plus grande (la grandeur maxima); et il le définit très correctement : une grandeur qui contient une pluralité d'unités plus grande que tout nombre (fini), il insiste même sur ce fait que l'infini n'a pas de grandeur absolue, et qu'il peut être plus ou moins grand selon qu'on prend une unité plus ou moins petite. Ainsi le père du criticisme a parfaitement élucidé le concept mathématique de l'infini, et l'a purgé de toute espèce de contradiction. Ce n'est pas lui qui aurait conçu le nombre infini comme le dernier de la suite naturelle, et vous voyez qu'il ne fait pas difficulté d'admettre des multitudes plus grandes que tout nombre fini. Les néo-criticistes, qui se réclament de l'autorité de Kant, n'ont donc pas d'excuse, quand ils s'obstinent à invoquer ces deux principes, dont la fausseté est depuis longtemps reconnue, et a été proclamée par leur maître lui même.
10. Du reste, la création des nombres transfinis a définitivement ruiné ces deux principes en leur donnant un démenti de fait. Cette invention vraiment géniale permet de résoudre toutes les difficultés que l'on a cru trouver dans l'infini numérique, et de dissiper les malentendus qui ont obscurci cette notion et embrouillé les discussions séculaires auxquelles elle a donné lieu. En particulier, tous les arguments fondés sur les deux principes que je viens d'énoncer manquent dorénavant de base, et tombent devant la constitution parfaitement logique et rigoureuse de nombres infinis inégaux répartis en classes de puissances inégales. Les travaux de M. Cantor sont la meilleure réponse, une réponse positive et victorieuse, aux objections que l'on a faites à la possibilité du nombre infini; et en même temps ils leur donnent satisfaction d'une certaine manière, en réalisant cette multitude de nombres infinis que les incrédules
4. • Argumenta contra infinitum aclu supponunt... infinita omnia esse œqualia. » Lettre au P. des Bosses, du 11 mars 1706. 2. Première antinomie : Remarques sur la Thèse (2° éd., p. 438-460, note).
réclamaient ironiquement pour acculer la thèse infinitiste à l'impossible et à l'absurde. Cet échafaudage vertigineux d'infinis superposes, qu'ils croyaient inconcevable, existe aujourd'hui, construit par un subtil et profond mathématicien, qui est aussi un philosophe infinitiste d'une logique impeccable. Je ne puis que vous renvoyer à son exposition, fort claire et fort systématique; j'espère qu'elle dissipera complètement vos doutes et calmera vos scrupules. En tout cas, Vonus probandi incombe désormais aux adversaires du nombre infini; à eux de découvrir, s'ils le peuvent, dans la théorie des nombres transfinis la moindre contradiction.
