M. Pillok, ap* Année philosophique 4890, p

LU. H. — DU NOMBRE IHFin CONCRET i ;i'J

l\r. — D'accord; mai3 c'est précisément ce qui vous oblige d'admettre les nombres infinis, pour représenter les collections concrètes infinies. Votre raisonnement suppose, d'une part, qu'il n'y a pas d'autres nombres entiers possibles que les nombres finit Bon.tenu-: d;ins la suite naturelle; d'autre part, que toute multitude donnée a un nombre, et que toute collection d'unités est un nombre entier. Il faudrait pourtant choisir entre ces deux conceptions du nombre entier. Ou bien vous appelez nombre entier Ulule collection d'unités, et alors la collection dont nous parlons aura un nombre entier qui ne sera aucun des nombres finis, cl par conséquent un nombre infini: ou bien vous n'admettes pas d'autres nombres entiers que ceux de la suite naturelle, et alors vous ne pourrez plus exiger que toute collection ait un nombre entier. Dana Cette dernière hypnthèse, la distinction de la multitude et du nombre est parfaitement légitime, quoi que vous en disiez, et l'on peut fort bien supposer I qu'il existe des inulliLudes sans nombre : car eu vous accordant que tout nombre entier est fini, l'on restreint l'ensemble des nombres entiers à la suite naturelle des nombres. Alors il n'y aura pas sans doute de nombre entier infini, mais ii pourra exister des collections infinies qu'aucun nombre enLîer ne dénombre *. Or vous n'avez plus le droit, pour réfuter cette thèse, d'invoquer l'idée de nombre entier conçu comme collection d'unités.

Bu d'autres ternies, votre argument peut se formuler ainsi : » Toute pluralité donnée a un nombre; or tout nombre est liui;donc toute pluralité donnée est finie *. » Ce syllogisme n'est pas valable, car le moyeu terme « nombre entier » n'a pas le même sens dans les deux prémisses : dans la majeure, il signifie une collection d'unités en général; dans la mineure, il signifie spécialement un nombre de la suite naturelle. Votre syllogisme a donc quatre termes, et par conséquent il ne conclut pas, Pour qu'il fût concluant, il faudrait qu'on pût identifier les deux moyens termes, et affirmer que toute collection d'unités appartient à la suite naturelle des nombres. Or il n'est pas permis d'imposer au nombre entier, défini comme collection d'unités, une condition supplémentaire et étrangère à son

.; du M. Cunon,

■ déjà, employé par Sai.vt Thomas

essence, savoir, d'être obtenu par l'addition répétée de l'unité à ellemême. [Voir I, m, 11 ; iv, 17.] Si donc votre majeure est vraie, votre mineure est fausse; si au contraire votre mineure est vraie, votre majeure est fausse. Dans les deux cas, votre syllogisme ne tient debout qu'en s'appuyant sur un postulat illégitime qui équivaut implicitement à votre conclusion : il constitue donc un paralogisme ou un cercle vicieux, à voire choix.

3. Fin. — Mais n'est-il pas évident que par l'addition progressive de l'unité à elle-même on obtient, d'une façon régulière et méthodique, toutes les collections possibles d'unités? Car qu'est-ce qu'une collection qu'on ne pourrait former en ajoutant indéfiniment les unités aux unités? La suite naturelle des nombres comprend donc bien tous les nombres entiers possibles.

Inf. — Cela n'est nullement prouvé : vous admettez sans raison qu'une collection ne peut être formée que par l'énumération successive de ses éléments, et qu'un nombre entier ne peut être conçu que par la sommation progressive de ses unités; or c'est là un postulat non seulement gratuit, mais faux. [Voir I, m, 12.] En général, supposer que les éléments d'une collection donnée sont susceptibles d'être rangés dans un ordre linéaire, c'est déjà restreindre la notion de collection f. Supposer en outre que la suite ainsi obtenue ait un premier terme, et surtout un dernier, c'est énoncer un jugement manifestement synthétique; c'est imposer à l'idée de collection de nouvelles restrictions, et affirmer d'avance que toute collection donnée doit pouvoir être dénombrée. Or si, comme vous le souteniez tout à l'heure, conformément à la théorie rationaliste, le nombre d'une collection est nécessairement donné avec cette collection ellemême, vous n'avez pas le droit de préjuger la possibilité du dénombrement, et d'exiger que cette opération ait une fin. En résumé, de deux choses Tune : ou vous admettez que le nombre entier préexiste au dénombrement de la collection donnée, ou vous ne reconnaissez comme nombre entier que le résultat d'un dénombrement effectué et terminé '. Dans le premier cas, vous devez accepter les nombres infinis, en tant que collections d'unités, et les considérer comme aussi valables que les nombres finis; dans le second cas, vous devez

1. Cf. la distinction de l'ensemble bien défini et de l'ensemble bien oivlonné, d'après M. Cantor : Note IV, § V, 51.

2. Inutile de rappeler que cette seconde alternative nous a paru insoutenable. [1, iv, 4.] Elle le parait également à M. Pillon. [Voir p. 410, note 4.]

■ DIT NOMIIHE INHNl CONCilET

admettre des pluralités qui n'aient pas de nombre (fini), des multitudes innombrables. De toute façon, vous ne pouvez démontrer l'impossibilité d'une collection infinie.

4. Fin. — Je ne puis néanmoins concevoir une collection d'objets réels et donnés qui donnerait lieu à l'application successive de tous les nombres entiers.

[RF. — Pourquoi pus? Qu'est-ce qui empêche une collection conerète de former une suite illimitée parallèle à la Balte des nombres abstraits, de telle sorte qu'a chaque nombre entier corresponde un objet distinct?

Fin. — - Muis supposer celle application entièrement effectuée, c'est supposer terminée une opération interminable, et l'inépuisable épuisé.

Inf. — C'est jouer sur les mots : car si la suite naturelle des nombres peut être épuisée, ce n'est pas dans le même sens ofi elle est inépuisable '. Elle peut s'appliquer tout entière à une collection donnée : mais il est clair que celte application ne peut s'ellreluer

Mtocewiveroent,

Fi\. — F.t pourtant vous n'avez pas d'autre moyen de L'effectuer réellement que de prendre les objets un a un. Mais alors, vous n'aurez jamais fini de numéroter les objets donnés, vous ne saurez donc jamais s'il en reste un nombre lini ou infini, et le nombre de ceux que vous aurez numérotés sera toujours fini.

Inf. — Sans doute, mais c'est parce que vous m'imposez implicitement celle condition, de n'en numéroter qu'un nombre fini en un temps lini. Au fond, tout dépend de la manière dont on se donne h-- ftlemenla de la collection, et de la durée que l'o

t. On répondrait de menu méthode îles limita (lu seule seule conforme aux exigences il attendu 1U8 ce serait le prodi a cnleul prolongé

rgument favori de SI. Rmocum COOtK ta

pourtant au point de vue logique, et la îïlisme), à savoir que ■ ta limite n'existe pas -, d' • une opération illimitée • ou ■ la limite lpt1 île la Nature. I. I, p. l3l);cf. Année

philotophiquc i89l, p. 28 et 31.) Ci'llc objection repose sur une simple équi voqiic : on y confond deux sens bien distincts du mot limite, le sens volgaii de borne, ou de fin, et le sens mathématique de limite l'ilélii el ECote 11. 7i. Ainsi, quand on parle île la limite d'une suile illimitée,

l'on considère u eroil sans limile

lim.te Ivoir I1- V

Séflnl -i d'ei

nah .in,- ta lu

m d'''|i;is»i' lniil I facile de l'éviter IV, i, a, B], Si doi

inlinie) comme la limile d'une variable qui limite, la contradiction n'est que dans les n employant à la fois les mois Lurne et il y a - un changement sophistique de inl dans ■ le prétendu passage k la limite -, prennent des jeux de mois pour des argu-

46fc LIV. III. — LA CRITIQUE DE L INFINI

chacun d'eux. Quand vous dites qu'une collection infinie ne pourra jamais être numérotée tout entière, il ne s'agit pas là d'une impossibilité intrinsèque et logique, mais d'une impossibilité pratique et matérielle : c'est tout simplement une question de temps *. Donnezmoi un temps infini, et je me charge de dénombrer une collection infinie.

5. Fin. — Même alors, vous ne parviendriez jamais au bout de la suite naturelle des nombres, puisqu'elle n'en a pas : au contraire, la collection concrète, étant donnée tout entière, devrait avoir un dernier terme. Vous ne pourriez donc pas établir une correspondance uniforme entre la suite des nombres entiers et la collection donnée, car la première finirait toujours par dépasser la seconde ; et comme le dernier terme de celle-ci correspondrait nécessairement à l'un des nombres de la suite naturelle, la collection aurait un nombre fini.

Inf. — Encore une fois, vous concevez une collection infinie comme finie. Pourquoi voulez-vous qu'elle ait un dernier terme, alors qu'en vertu même de son infinité elle ne peut en avoir aucun? Au lieu d'arriver à un dernier terme et de trouver un dernier nombre qui la dénombre tout entière, on devra lui appliquer tous les nombres entiers consécutifs. Quel mal voyez-vous à cela?

Fin. — C'est qu'une telle collection n'aurait pas de nombre : car, si elle avait un nombre cardinal, ce serait nécessairement le dernier de tous les nombres entiers, alors que, de votre propre aveu, la suite naturelle est interminable, et ne contient pas de dernier nombre.

6. Inf. — De quel droit exigez-vous que le nombre de tous les nombres entiers finis fasse partie de la suite naturelle, c'est-à-dire soit lui-même un nombre fini? Tout au contraire, c'est justement parce que la suite naturelle n'a pas de dernier terme que son nombre est infini. Ainsi, loin d'être le plus grand de tous les nombres entiers, le nombre infini n'existe que parce qu'un tel nombre n'existe pas V Vous confondez toujours les deux conceptions (empiriste et rationaliste) du nombre, et vous identifiez sans

1. Voir l'exemple géométrique exposé 1" Partie, IV, i, 6. De même, un pendule peut arriver au sommet de sa course au bout d'un temps fini ou infini. Cf. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, p. 568, 571.

2. « Ht singuli quique Hniti sunt, et omnes inflniti sunt. » (Saint Augustin, de Civiiate Dei, XII, 19.)

cil. ii. — au nombre infini concret 463

ion les ilcux sens dit nombre entier, que j'ai discernés précédemment et qui ne sont unis par aucun lien logique : je veux dire le sens cardinal et le sens ordinal '. Dans tout nombre, en effet, il Tant distinguer deux choses : le nombre des unités qui le composent, et le nombre des nombres qui le précèdent dans la suite naturelle (plus un). Ces deux nombres ne sont pas nécessairement égaux. Dans le premier sens, le nombre entier est constitué par la réunion de ses unités, et n'emprunte rien aux nombres précédents : il existe par lui-même et est indépendant des autres. Dans le second sens, au contraire, il occupe dans la suite naturelle un rang déterminé, et il dépeod des autres nombres, par ce fait qu'il est la somme du nombre précédent et de l'unité, et que, en lui ajoutant une unité, on obtient le nombre suivant. Ces deux sens du nombre, ou plutôt ces deux nombre?, coincidcnL pour tout nombre Uni, parce que, chaque nombre élant obtenu par l'addition d'une unité au précédent, le nombre des nombres formés est précisément égal au nombre des unités additionnées, c'est-à-dire au dernier nombre obtenu : et voilà pourquoi chaque nombre entier fini n se trouve être en même temps le n* dans la suite naturelle, Mais si l'on prolonge sans fin celle suite en ajoutant indéfiniment l'unité au dernier des nombres formés, '>n obtiendra une Infinité de nombres, sans jamais obtenir un nombre infini, ni par conséquent un nombre

l-'is. — Tout cela confirme ce que j'avançais tout à l'heure : c'est

1. Celle confusion apparaît licitement dans <:<-, passage de M. Remiiivïïh

■ d H. h>l:'\ ap, flenue phiiotophi^ae, I. IX, p. i!71] : « M. Lot» considÈre la série potentielle des nombres comme un tout actuellement donné, lin tel d m t pcot-il di Itérer du nombre inlini, alors que chaque le nue dr Iii série énonce h la fois sa valeur particulière et le nombre des termes complés jusquVi loi! Je .'■in iliiv que si le lout est une inlini le donnée, comme les termes se suivent inépuisables jusqu'à In fin de ce qui peut être donné, je suis forcé d'en supposer un dernier et celui- Il .... nombreru ce tout et celte in Unité. Ce dernier Lerme est-il impossible, vu In nnlure de la série? Alors la somme infinie est elle-même impossible, eu tant que donnée, puitque Ici termes el le* somma retient ronatriHiuirni iilt-iitii/H-s. ■• Noua soulignons celle dernière phrase, parce qu'elle contient [OUI le vice du raisonnement.

2. Jean Behnopilli a donc commis une erreur en disant : - S'il eiisle nue inlinilé de ces termes (dans une suite infinie), il doit en exister un infinifiême, par la mime raison que tli.r eïiceruienl le ili.rième en rang des dix, et cent le centième en rang des cent. ■ [Cité ap. ïïitii/uf i,hili>i"i'hi//in; I',' année, n" 2.1 Celle concession Imprudente (arrachée sans doute â Bensorii.i.i par les sopliismcs des (inilistes) repose sur une fausse analogie ou sur une induction sans valeur : car, de ce que les termes de la suite sont en nombre cardinal inlini, il n; s'ensuit pas qu'il y ait parmi eux un nombre •irili'iti inlini, aitcmJii qu'en vertu de l'in-

que la suile naturelle des nombres n'a pas de nombre cardinal; elle est littéralement innombrable.

Inf. — Nullement : cela prouve simplement que le nombre cardinal de la suite naturelle ne fait pas partie de celte suite; or elle contient tous les nombres finis; donc son nombre cardinal n'est aucun des nombres finis : il ne peut être qu'infini. Ainsi le nombre infini n'est pas un terme de la suite naturelle, mais bien le nombre de tous ses termes '.

7. Fin. — Mais vous n'avez pas le droit de parler de la totalité de la suite naturelle : n'est-il pas évident, au contraire, qu'elle n'est jamais complète, jamais achevée? Or, d'après votre définition même du nombre, l'idée de totalité est nécessaire à la formation d'un nombre entier. La suile naturelle des nombres, ne pouvant jamais être terminée et totalisée, ne peut donc avoir un nombre cardinal.

Inf. — Vous oubliez que « totalité » ne signifie rien de plus que l'unité d'une pluralité. Vous ne pouvez nier que la suite naturelle des nombres soit une pluralité...

Fin. — Sans doute, mais je conteste qu'elle ait une unité, et par conséquent elle ne constitue pas une totalité.

Inf. — Je vous demande pardon : la suite naturelle possède une véritable unité, en tant qu'elle procède d'une loi de formation uniforme; elle offre donc bien le caractère d'une totalité. Votre objection serait encore plausible dans la théorie empiriste, où les nombres ne sont unis entre eux par aucune relation logique, et se succèdent en quelque sorte au hasard *. Mais dans la théorie rationaliste, la loi qui enchaîne les uns aux autres les nombres entiers, et qui permet de les concevoir comme engendrés par un seul et môme acte de l'esprit, constitue entre eux un lien intelligible : en les réunissant sous une même idée et en les comprenant dans une seule définition, elle confère à leur suite une unité rationnelle. Peu importe que les termes de la suite soient en nombre fini ou infini, pourvu qu'on ait le moyen de les construire tous : or ce moyen est fourni par une formule opératoire unique (l'addition

1. Celle conclusion permet de dissiper une autre confusion commise par M. Renouvikr dans le passage cite plus haut (p. 463, note 1). On se demande, en eiïet, si c'est la totalité de la suite naturelle, ou seulement son dernier terme, qu'il considère comme un nombre infini. La première hypothèse est valable; la seconde est contradictoire.