Kro.nkcker [cité I, iv

■ DU IfOHBRE INF1M CSKCRKT

nnturelle existe tout entière dans votre esprit : car voua n'avez eertM pas actuellement l'idée de tous les nombres entiers.

Inf. — Encore une l'ois, 1b suite naturelle est donnée tout entière par sa loi île formation, ainsi, du reste, que toutes les autres suites ■ies infinies, qu'une formule de récurrence suffit, en général, à définir entièrement, de telle sorte que leur limite ou leur somme (quand elle existe) se trouve par là complètement déterminée '. Aussi un mathématicien exercé n'a-l-il pas besoin de développer une suite et d'en calculer les termes successifs : il les aperçoit comme en perspective dans le terme général qui les engendre tous; il n'a pas besoin non plus de prolonger indéfiniment une série pour savoir si elle a une limite : H l'appréhende d'emblée dans la formule de sommation. Il n'y s donc aucune difficulté a penser des suites

i "m actuellement inlinies et comme données dans leur totalité;

or ce qui permet de concevoir en bloc et d'embrasser d'un coup d'œil l'infinité de leurs termes, c'est la loi de formation qui les englobe tous dans une formule générale et unique. De même, c'est grâce à la loi de formation de la suite naturelle que uous avons l'idée de tous les nombres entiers, et en ce sens ils sont donnés tous ensemble dans cetle loi. C'est ce qu'avait bien compris Lkiismt/, quand il soutenait l'infinité actuelle de la suite naturelle des nombres*.

Sans recourir, comme lui, à l'hypothèse d'un entendement divin, e vous ferai simplement remarquer que nous avons tous dans l'esprit Vider génératrice de tous les nombres entiers possibles, de sorte que nous sommes eu mesure de dénombrer n'importe quelle collection finie donnée; nous avons donc le moyen de former le nombre cardinal correspondant, quel qu'il soit, ou plutôt nous en avons d'ores et déjà l'idée; car, ainsi que je l'ai montré [1, iv, 3], le dénombrement d'une collection présuppose l'idée de sou nombre cardinal, loin de l'engendrer. Or si nous pouvons « tirer du trésor de notre esprit •> telle idée de nombre qu'on voudra, il Tant bien que nous ayons l'idée de tous les nombres entiers, et par là même l'idée de leur multitude actuellement Infinie, Si, par exemple, je m'engageais à vous donner telle somme Unie d'argent que vous pourriez demander, ne faudrait-il pasque j'eusse une fortune infinie*

. Cf. 1" Partie, I, iv, 15, eL Note IV, i.

!. - Naqut enim oejjari potest, omniun

revera «tari, saltem in divinn mente, aileoi

Fin. — Assurément : car si elle était finie, je pourrais toujours vous demander une somme finie qui lui fût supérieure.

Inf. — Eh bien! si je m'engage à trouver le nombre de telle collection finie qu'il vous plaira de me donner, ne faut-il pas, de même, que j'aie une provision infinie d'idées de nombres?

11. Fin. — Non pas, car l'analogie se trouve en défaut. Ce qui fait que voire fortune devrait être absolument infinie, c'est que nous la concevons comme une grandeur donnée, partant constante. Au contraire, votre provision de nombres est variable : vous les formez au fur et à mesure des besoins, mais vous ne les avez pas tous ensemble présents à l'esprit. Aussi la suite des nombres que vous pouvez penser est-elle indéfinie, et non infinie. Autrement dit, la loi de formation vous donne le pouvoir de former autant de nombres que vous voulez, il est possible de trouver toujours un nombre plus grand qu'un autre nombre donné ; mais tous les nombres ne peuvent être donnés à la fois, et ils n'existent pas tout faits dans votre pensée. En un mot, votre provision idéale de nombres est infinie potentielle, et non pas infinie actuelle.

Inf. — Vous auriez raison dans la théorie empiriste, où les nombres entiers sont donnés un à un et successivement, comme des cartes ou des jetons. Dans la théorie rationaliste, au contraire, tous les nombres sont donnés d'un seul coup dans la loi de formation, qui est une règle générale et uniforme. C'est dans cette théorie seulement que la suite des nombres entiers est vraiment « naturelle » et « régulière ». En vertu de celte loi permanenle et unique, il n'y a pas seulement possibilité d'obtenir de nouveaux nombres, il y a nécessité d'en former toujours de nouveaux par le même procédé qui a servi à construire les précédents : car l'addition de l'unité an dernier nombre obtenu est toujours possible, si grand que soit ce nombre, et l'on ne peut pas s'arrêter à l'un plutôt qu'à l'autre dans l'application répétée de la règle universelle. Non seulement il n'y a pas de raison pour s'arrêter à lel ou tel nombre de la suite, mais il y a toujours la même raison pour avancer indéfiniment et construire sans cesse de nouveaux nombres. Et comme cette opération ne peut avoir de fin, bien plus, comme elle doit se répéter sans fin, nous pouvons affirmer que la suite naturelle des nombres est, non pas indéfinie, mais proprement infinie1.

1. Leirxitz, Nouveaux Essais, livre II, ch. xvu, § 4 : « Philalèthe : Nous avons

CU. II. — IIL' KOMBKK INIIM CONCRET 489

Fin. — Mais, même dans cette conception, la formation des nombres n'est-elle pns nécessairement successive, Je sorte qu'on n'en obtient jamais qu'un nom bru fini? La suite naturelle ne sera donc jamais infinie actuelle.

Ikf. — Cela serait encore vrai si les idées des nombres étaient primitivement issues de l'addition successive de l'unité à elle-même ; mais il est illogique de définir le nombre entier comme la somme de ses unités constituantes *, attendu que la définition de l'addition suppose celle du nombre entier [I, m. 11]. Par conséquent l'idée de chaque nombre est antérieure à la sommation par laquelle on le construit a son tour dans la suite naturelle; la loi de formation successive ne peut donc pas engendrer les idées-nombres, et les suppose au contraire préformées [I, ni, 12]. Comment saurait-on, par exemple, que dans la progression des nombres entiers on est arrivé au nombre cent, si l'on n'avait pas déjà l'idée de cent avant d'avoir obtenu ce nombre et indépendamment de ce mode de génération? Ce n'est donc pas un moyen de créer les nombres, mais simplement un moyen île les retrouver suivant une régie uniforme et de les ranger dans un ordre naturel el commode, mais nullement nécessaire, lit puisque chacun d'eux est indépendant des autres par son essence, leur existence a tous ne dépend pas de leur ordre de succession; elle est, en principe, simultanée \ Sans doute, l'ensemble des nombres qu'un opérateur peut énumérer verbalement ou figurer par l'écrilure est toujours liui, el comme on peut toujours l'augmenter, il sera bien qualifié d'indéfini; mais l'ensemble des idéesnombres, qui préexiste à toute énumération, et qui seul la rend possible, est essentiellement infini. Assimiler l'ensemble infini de ces idées à l'ensemble indéfini des nombres qu'on peut figurer d'une manière empirique, c'est confondre le signe avec la chose signifiée :

que la puissance qu'a l'esprit d'étendre sans lin son idée de l'espace par des nouvelles additions étant toujours la infini.-, c'est de la qu'il Lire l'idée d'un espace infini. — Théophile : Il est bon d'ajouter que c'est parce qu'on voit que

aéme raison minute toujours...... de sorte que la considération de l'infini

vient de celle de la similitude ou de la même raison, et son origine est la même avec celle des vérités universelles el nécessaires. •>

:. Cf. Pillou, Année phitnmphitiae IR90, p. HT : " L'idée de nomtir« eïdul

l'inlini. Pourquoi? Parce que le nombre est une somme »

3. H. Lotie [L'infini actuel est-il contradictoire? an. Renie philosophique, t. IX) : ■ La certitude que nous avons de la valeur ou de la vérité simultanée île loua les termes de In si-rii? jusqu'il l'infini, voila précisément en quoi consiste l'in-

é donnée de !a série. ■> On remarquera que celle proposition est absolu-

it conforme il la doctrine de Lkibmti.

c'est identifier l'idée avec son image matérielle *. Loin de prendre naissance dans la formation progressive de la suite naturelle, les idées de tous les nombres doivent être préconçues par l'esprit : elles sont là, toutes prêtes, et viennent tour à tour se poser à l'appel de leur nom. Aussi le mathématicien rigoureux ne dit-il pas : « Après tout nombre entier on en peut trouver un autre », mais bien : « Après chaque nombre entier il y en a un autre * », parce que l'existence idéale d'un nombre ne dépend en aucune façon du procédé pratique par lequel on le représente ou on le réalise. Cette formule résume donc bien tout le « mystère » de l'infini numérique : car elle implique l'infinité absolue de l'ensemble de tous les nombres finis *.

12. Fin. — Je vous accorderais encore, à la rigueur, l'infinité idéale de l'ensemble des nombres entiers; mais ce que je ne puis comprendre ni admettre, c'est l'infini réalisé. Une collection concrète ne peut pas être infinie, car on n'en pourra jamais donner qu'un nombre fini d'éléments : une collection infinie donnée est donc contradictoire. En tant que donnée, elle ne sera pas infinie; en tant qu'infinie, elle ne sera jamais donnée dans sa totalité.

Inf. — En somme, vous reconnaissez l'infinité actuelle de la suite naturelle des nombres; vous admettez donc le nombre infini abstrait. Mais alors je ne vois pas pourquoi vous refuseriez d'admettre le nombre infini concret, c'est-à-dire une pluralité infinie d'objets. Vous m'accorderez bien que tout nombre fini peut être réalisé, c'est-

1. Par une heureuse inconséquence, M. Piklon reconnaît que « le nombre est indépendant de la capacité numératrice de l'esprit particulier qui le forme, des moyens plus ou moins rapides, plus ou moins laborieux et pénibles par lesquels on le forme, enfin du mode sous lequel il apparaît et du signe par lequel il s'exprime ». Année philosophique 1890, p. 111-118. [Cf. p. 357, note i.J