J. Tannury, op. cit., Préface, p. vin \cité p. i

3. M. P. du Bois-Heymo.nd établit une distinction bien subtile entre l'ensemble des nombres entiers et celui des nombres rationnels au point de vue de l'infinité : « Le premier, dit-il, est infini, parce qu'il ne suppose pas l'existence d'êtres pensants (?), tandis que l'ensemble des nombres rationnels est lié à la personne qui pense (?).... On est tenté d'abord de croire que l'ensemble des nombres entiers n'est qu'illimité » (c'est-à-dire : indéfini), « parce qu'on pense a celui qui compte : mais il faut encore ici séparer l'esprit qui compte du nombre lui-même (?) ». Au contraire, « les nombres rationnels forment un ensemble illimité, et non inlini », parce que leur numérateur et leur dénominateur doivent toujours être finis. (Théorie générale des fondions, i<* Partie : À. Système idéaliste : L'Idéaliste, le concept de limite.) — Mais est-ce que par hasard les nombres entiers de la suite naturelle ne seraient pas tous finis? Et si l'ensemble des nombres entiers est infini, comment l'ensemble des nombres rationnels, qui contient le précédent, ne serait-il pas infini? Nous avons longtemps médité ce paradoxe bizarre : nous avouons n'avoir pas réussi à le comprendre.

Cil. II. — DU NOMBRE INFINI CONCRET 471

à-dire qu'il peut exister une collection concrète correspondant à ce nombre. Or, si vous concevez tous les nombres finis comme réalisés, vous concevez par là même comme réalisé le nombre infini.

Fin. — Non pas : je refuse de considérer tous les nombres finis comme réalisés; je dis que chacun d'eux peut l'être, mais je nie qu'ils puissent être tous réalisés à la fois.

Inf. — Eh bien! indiquez-moi donc combien vous pouvez en admettre comme réalisés; je me charge d'en réaliser un de plus. Ou si vous préférez, indiquez-moi seulement le plus grand de ceux que vous croyez pouvoir être réalisés : je me fais fort d'en réaliser un plus grand. Et il faut bien qu'il y en ait un qui soit le plus grand de tous les nombres réalisables, si vous voulez que leur nombre reste fini. De deux choses l'une : si tous les nombres entiers peuvent être réalisés, le nombre infini sera réalisable; si le nombre infini n'est pas réalisable, il y aura des nombres finis (et même une infinité) qui ne pourront être réalisés. Pour être logique, il vous faudrait soutenir qu'aucun nombre fini (pas même un) ne peut être réalisé, car si vous en réalisez un seul, n par exemple, je pourrai réaliser (m -4- 4). Je vous laisse le choix entre ces deux affirmations extrêmes, qui au fond reviennent au même et qui vous réfutent également : « Tous les nombres entiers peuvent être réalisés (y compris le nombre infini); — Aucun nombre entier ne peut être réalisé. » En efFet, tout se réduit à savoir si l'on a le droit de réaliser le nombre 4, c'est-à-dire d'appliquer l'unité idéale à un objet quelconque. Si vous m'accordez ce droit, qui vous permet d'affirmer que la nature se lassera de fournir des objets à ma « faculté numératrice », et ne m'offrira pas une multitude innombrable d'unités? Si au contraire vous me le refusez, je ne pourrai même plus compter un : mais alors, que devient votre loi du nombre?