Voir II, m, 6; iv

3. On se rappelle que c'est ainsi que Kant définit le « vrai concept transcendental de l'infini ». Critique de la Raison pure, 2* éd., p. 460, note [cité Ch. i, 9].

Cil. JII. — DE LA GRAM1F.UH INFIME ABSTRAITE 473

dans le raisonnement, parce qu'ils sont tous du même nature. On

est donc Tonde à conclure de l'un a l'autre, de l'infini de nombre a celui d'espace, ou de l'infini d'espace à celui de nombre ' ». Voua voilà donc condamné par votre propre arrêt, et désarmé en face de l'infini de grandeur. Mais je n'abuserai pas de cet aveu, et je renonce à un triomphe trop facile. Il n'est pas certain, quoi que vous en disiez, que tous les infinis mathématique sn tiennent et se vaillent, et l'on n'a pas le droit de les assimiler a priori les uns aux autres. Pour que l'infini géomélrique suivit le sort de l'infini numérique, il faudrait que les grandeurs géométriques fussent naturellement et par essence des collections d'unités : or c'est ce qu'on ne saurait soutenir sans méconnaître la différence radicale qui existe entre les grandeurs, qu'on mesure, et les multitudes, qu'on dénombre : c'est même fausser la notion de grandeur que île concevoir toutes les grandeurs d'une même espèce comme composées d'unités égales *. C'est votre prétendue loi du nombre qui vous oblige à identifier les grandeurs continues à des pluralités discrètes : vous voyez qu'elle se retourne à présent contre vous. Mais je me ferais scrupule d'en tirer avantage, puisque je la" considère comme absolument fausse. Je ne veux pas trnncber si légèrement une question aussi grave, et je liens a discuter avec vous l'infini de grandeur en lui-même et pour lui-même.

Je suppose donc désormais que le nombre infini n'existe pas, et qu'il ne peut y avoir de collections infinies; je tiens tout ce que j'ai dit pour nul et non avenu, et je vous donne gain de cause. Si je parviens à établir, indépendamment de l'infini numérique, l'existence (idéale) d'une grandeur infinie, j'aurai démontré une seconde fois la possibilité du nombre infini, non plus en tant que collection d'unités, mais en. tant que mesure d'une telle grandeur, car, lors même qu'il n'y aurait aucune multitude infinie, et que le nombre infini serait inutile et absurde en tant que pluralité discrète, il pourrait encore être légitime et valable comme symbole d'une grandeur. Il va sans dire que je ne renonce nullement à tout ce que j'ai soutenu jusqu'ici : je ne vous fais cette concession que pour les besoins de la discussion. De plus, il est bon d'isoler autant que possible les questions qui sont en effet indépendantes les unes des

. M. PilloiS, Année pliilosap/iii/ue IS90, p. 08.

autres, et de les traiter séparément. Enfin, bien que je n'aie aucun doute sur la valeur de mes précédentes affirmations, il n'est pas défendu, je pense, de mettre à une thèse, comme aux vaisseaux de guerre, des « cloisons étanches », afin qu'elle ne coule pas à pic au cas où l'adversaire viendrait à percer sa cuirasse. Voyons donc si vous réussirez mieux à ruiner la grandeur infinie que le nombre infini.

2. Le Finitiste. — Je ne sais si je dois employer certains arguments traditionnels qui vous feront peut-être sourire; j'espère du moins que vous ferez grâce à celui-ci, en considération de son auteur : « Le P. Mlrsknne objectait à la possibilité d'une ligne infinie, qu'elle aurait un nombre infini de pieds et de toises, et que, la toise étant six fois plus grande que le pied, le nombre infini des pieds serait six fois plus grand que le nombre infini des toises; ce qui était, disait-il, manifestement impossible, attendu qu'un infini ne peut être plus grand qu'un autre !. »

Inf. — Ce n'est pas sans raison que vous rougissez de rapporter ces arguments surannés. Le précédent me rappelle celui du P. Buffikr, dont vous n'avez pas osé vous servir, tant il est puéril : « N'estil pas évident que s'il y avait une infinité d'hommes, il y aurait une infinité de cheveux plus nombreuse que l'infinité des hommes? * » Ces deux arguments ont la même valeur et sont « de la même farine » : car ils reposent l'un et l'autre sur ce principe erroné, que tous les nombres infinis sont égaux [i, 9].

D'ailleurs, il est si peu contradictoire qu'une même grandeur puisse être mesurée, par rapport à des unités inégales, par des nombres inégaux 3, que cela a lieu pareillement pour toute grandeur finie. Une longueur finie quelconque contient, elle aussi, six fois plus de pieds que de toises, et personne ne songe à s'en étonner, car c'est le contraire qui serait illogique, étant donné que la toise contient six pieds. Ainsi une grandeur finie peut fort bien être représentée par plusieurs nombres, attendu que chacun d'eux est relatif à une unité de mesure différente ; il n'y a pas de raison pour qu'une grandeur infinie ne puisse pas, de même, correspondre à plusieurs nombres infinis, relatifs à autant d'unités diverses.

Mais il y a mieux : non seulement une même grandeur infinie