Cf. Kant, loc. cit. Gh. i

CH. m. — DE LA GRANDEUR INFINIE ABSTRAITE 473

peut être mesurée par plusieurs nombres, ce qui serait tout au plus une pierre d'achoppement pour le nombre infini, mais il existe en Géométrie des grandeurs infinies plus grandes les unes que les autres, et même extrêmement inégales. Vous auriez pu et dû arguer de ce fait, et je m'attendais à ce que vous m'objectiez un exemple de ce genre, en montrant que telles et telles grandeurs infinies doivent être à la fois égales et inégales, ce qui serait une contradiction apparente. Je vous aurais répondu, comme pour les nombres infinis, qu'il ne faut pas concevoir la grandeur infinie comme un maximum infranchissable, mais comme une nouvelle échelle d'états de grandeur, tous infinis, quoique inégaux. En un mot, il n'est pas plus vrai de dire : Toutes les grandeurs infinies sont égales, que : Tous les nombres infinis sont égaux.

3. Bien plus, l'inégalité des grandeurs infinies, comme celle des nombres infinis, est telle, qu'elle admet non seulement des grandeurs multiples les unes des autres ou ayant entre elles des rapports finis, mais même des grandeurs dont le rapport est infini, sans qu'elles cessent pour cela d'être infinies, et, qui plus est, du même ordre d'infinité '. A l'objection du P. Mersenne, qui prétendait qu'un infini ne peut pas être plus grand qu'un autre, Descartes répondait : « Pourquoi non, s'il n'est plus grand que in ratione finita? » Il faisait en cela au bon sens finitiste une concession absolument gratuite, car on trouve souvent en Mathématiques des grandeurs infinies infiniment plus infinies que d'autres. Pour en citer un exemple très simple, logar (le logarithme népérien de x)* devient infiniment grand avec x, et en même temps infiniment petit par rapport à x. Mais pour transporter cette vérité dans le domaine de l'étendue, et rendre cet argument plus sensible, je vais en donner une illustration géométrique.

Considérons l'hyperbole équilatère qui a pour équation en coordonnées cartésiennes (cf. fig. 28) : xy = 1

Prenons seulement la branche SS' située dans le premier quadrant, c'est-à-dire celle qui a pour asymptotes les deux demi-axes positifs des x et des y : OX, OY. Le sommet G de cette branche a pour coordonnées :

OA=x0=i OB = ?/o = i

1. De même que les nombres infinis «*, w3, .... et môme ww sont de la même «lasse (ou puissance) que le nombre infini a>. (Voir Note IV, § IV.)

2. Pour la définition des logarithmes, voir 1" Partie, 11, xv, 12.

de sorte que la figure OAGB est un carré (Fig. $2). Prolongeons BC indéfiniment dans le sens des x positifs : nous obtenons la demidroite infinie BZ parallèle à OX. En vertu de l'équation de l'hyperbole, l'ordonnée d'un point M quelconque de la courbe est l'inverse

de son abscisse :

* X Donc cette ordonnée MP décroit à mesure que croit l'abscisse OP, et devient infiniment petite, quand celle-ci devient infiniment grande, ce qui s'écrit :

lim y = 0 pour : lim x = oo .

Fip. 3-2.

Ainsi la surface comprise entre la courbe SS' et l'axe OX diminue de largeur indéfiniment à mesure qu'on avance dans le sens des x positifs, et devient pour ainsi dire infiniment mince pour x infiniment grand : c'est cette propriété qu'on exprime en disant que la branche infinie CS a pour asymptote la droite infinie OX. (De même, la branche infinie CS' a pour asymptote OY.)

Cela posé, considérons l'aire plane comprise entre la courbe CS et l'axe OX, et limitée par les ordonnées AC et MP (correspondant aux abscisses 1 et x). Elle est contenue tout entière dans le rectangle ACNP, que l'ordonnée MP découpe dans la bande parallèle et infinie

XACZ, dont la largeur est constante (NP = AC). L'aire ACMP a pour mesure log x â, tandis que Taire ACNP a pour mesure :

AP. AG = (x — 1) X 1 = x — i.

Supposons maintenant que le point variable M décrive la branche infinie CS en s'éloignant de C : son abscisse x croîtra indéfiniment, et son ordonnée MP décroîtra indéfiniment. Le rapport des deux ordonnées MP, NP, l'une infiniment petite, l'autre constante, qui engendrent respectivement les deux aires ACMP, ACNP, deviendra aussi infiniment petit; enfin le rapport des deux aires elles-mêmes, qui est égal au rapport numérique :

log x x — 1

deviendra infiniment petit, ou tendra vers zéro :

lim. — £— r = lim. ** = 0 pour : lim x = œ . x — 4 x r

Est-ce à dire que l'aire illimitée XACS, infiniment plus petite que l'aire infinie XACZ, soit nécessairement finie? Il semblerait qu'une aire plus petite que celle de la bande infinie XACZ dût être finie; et en effet, si l'on considère une demi-droite infinie CR tournant autour du point C, tant qu'elle ne coïncidera pas avec CZ, elle rencontrera l'axe OX à distance finie (en vertu du postulatum d'Euclide), et formera ainsi un triangle uni avec AC et AX. Si petit que soit l'angle RCZ, la droite CR coupera toujours l'axe OX, et Taire comprise entre ces deux droites et AC sera toujours finie. Or cette aire contient une grande partie de Taire XACS, et s'il est vrai que celle-ci finit par sortir du triangle XACR, du moins on peut toujours faire ce triangle assez grand pour que la partie de Taire hyperbolique qui reste en dehors soit aussi mince qu'on le voudra; elle pourra se réduire à Tépaisseur d'un 01 imperceptible, sans que le triangle cesse d'être fini. Si Ton remarque, d'autre part, que ce triangle enferme, outre une partie aussi grande qu'on voudra de Taire hyperbolique XACS, une aire finie notable SCR, on sera tenté de croire que celle-ci compense amplement le reste de Taire hyperbolique qui dépasse ce triangle, et Ton présumera, non sans vraisemblance, que Taire hyperbolique totale est finie. En quoi Ton se tromperait du tout au tout : ce qui prouve, en passant, qu'il faut se défier de l'imagination, même en Géométrie, et ne pas faire reposer les

*4. C'est pourquoi le logarithme népérien s'appelle aussi hyperbolique.

raisonnements mathématiques sur les intuitions en apparence les plus évidentes. En réalité, Taire illimitée XACS est infinie aussi bien que Taire de la bande parallèle infinie XACZ : ce qui se traduit par ce fait analytique (numérique), que log x devient infini avec x (ou x — 1, ce qui revient au même). Néanmoins, elle ne laisse pas d'être infiniment petite par rapport à cette même bande parallèle, et même par rapport à toute bande parallèle infinie, si petite qu'elle soit. Menons, par exemple, par un point D quelconque de AG, la demi-droite infinie DT, parallèle à AX et à CZ : elle détermine une bande parallèle infinie XADT, que Ton pourra considérer comme plus petite que la bande XACZ, dont elle fait partie, dans le rapport des longueurs AD, AG. On peut prendre la longueur AD assez petite pour que la droite DT rencontre l'hyperbole GS aussi loin qu'on veut; pour que, partant, Taire hyperbolique contienne une partie aussi longue qu'on voudra de la bande XADT. Celle-ci finira toujours par sortir de Taire hyperbolique, puisque Tordonnée NP de celle-ci devient plus petite que toute longueur finie, telle que AD par exemple, de sorte que, si mince que soit cette bande, elle sera toujours, prise dans sa totalité infinie, infiniment plus grande que Taire hyperbolique infinie XAGS. Concluons donc qu'une grandeur infinie peut être infiniment petite par rapport à une autre grandeur infinie, lors même que cette dernière paraît être la plus petite des grandeurs infinies (comme la bande infinie XACZ par rapport au triangle fini XACR dont elle est la limite).

4. H ne faudrait pas croire non plus que toute aire illimitée fût nécessairement infinie, et que, si Taire de l'hyperbole est infinie, c'est parce qu'elle se prolonge indéfiniment entre la courbe et son asymptote. Il est facile de trouver des exemples d'aires asymptotiques s'étendant à l'infini et ayant néanmoins une grandeur finie et bien déterminée : ainsi Taire comprise entre lacissoïde de Dioclès l et

son asymptote a pour mesure : — j- , a étant la longueur du diamètre du cercle générateur; elle est donc égale à trois fois Taire de ce cercle lui-même. On voit qu'elle est finie, et qu'elle a, de plus, un rapport très simple avec Taire du cercle *. Il y a donc des aires

i. Voir Briot et Bouquet, Géométrie analytique, n° 20 et fig. 16.

2. Autre exemple : la strophoide (voir Briot et Bouquet, op. cit., n* 23 et fig. 18).

L'aire comprise entre la courbe et son asymptote a pour mesure : a* -\- ~- , tandis que Taire comprise dans la boucle fermée a pour mesure : a* — ~L .

illimitées dont la grandeur est finie, et souvent même s'exprime en fonction rationnelle d'aires finies élémentaires, telles que celles du cercle ou du carré !. Or, si Ton n'admettait pas la droite infinie et les branches infinies de courbes, tangentes à leurs asymptotes à l'infini *, et si on les considérait seulement comme indéfinies, on devrait regarder aussi comme indéfinies les aires asympiotiques de l'hyperbole et de la cissoïde, c'est-à-dire comme toujours finies Tune et l'autre, puisqu'on s'astreindrait à ne les mesurer jamais que suivant une longueur finie de l'asymptote. On pourrait croire que le reste constitue, de part et d'autre, une grandeur négligeable; et de fait, les deux aires asymptotiques, à partir d'une certaine distance de l'origine, seraient indiscernables à l'œil, car elles se réduiraient toutes deux, en apparence, à l'épaisseur du trait qui marque l'asymptote (si fin qu'il soit). Il n'en est pas moins vrai qu'il y a une différence immense entre ces deux aires, attendu que, si le reste de l'aire de la cissoïde est en effet négligeable et devient infiniment petit, le reste de l'aire de l'hyperbole est toujours infiniment plus grand que la partie finie qu'on en aurait déjà mesurée, puisqu'il est toujours infini. Aux yeux de l'empiriste finitiste, ce seraient deux aires indéfinies, c'est-à-dire toujours finies mais jamais achevées, n'ayant par suite pas de valeur précise, mais seulement des valeurs approchées; aux yeux du géomètre infinitiste, ce sont deux grandeurs absolument déterminées, ayant chacune sa valeur exacte : l'une est finie, l'autre est infinie.

5. Ce même exemple géométrique va me permettre d'achever la réfutation de l'argument de Cauchy contre la possibilité du nombre infini, ou plutôt contre l'infinité actuelle de la suite naturelle des nombres [i, 2]. En effet, le raisonnement emprunté à Galilée par Cauchy contient une considération qui, quoi qu'en dise M. Renouvier 3, lui donne une force particulière et le rend au moins plus spécieux que l'argument fondé sur la comparaison des nombres pairs aux nombres entiers, par exemple [i, 5]. Cela tient à cette circon-

Cela veut dire que la première esl égale à la somme des aires du carré de côté a et du cercle de diamètre a, et que la seconde est égale à la différence des mêmes aires.

\. Ce sont là des exemples de ces « figures d'une longueur infinie égales à des espaces finis •, dont parle Leibmtz à la fin de sa Réplique aux Réflexions contenues dans la seconde édition du Dictionnaire critique de M. Bayle, article Rorarius, sur VHarmonie préétablie (1702). Cf. Pascal, Pensées, éd. Havet, XII, «.