Principes de la Nature, ch. m, opp. B (t. I, p

stance que, tandis que les nombres pairs constituent pour ainsi dire la moitié des nombres entiers, les nombres carrés paraissent former dans l'ensemble des nombres entiers une infime minorité, qui va se dispersant indéfiniment dans la suite naturelle et semble disparaître à l'inlini. Voici comment on formule cet argument ' : On sait que la suite des nombres carrés est :

Si l'on suppose actuellement prolongée a l'infini la suite naturelle des nombres entiers :

les carrés que renferme cette suite seront en minorité, et cette minorité sera de plus en plus marquée. Ainsi, si l'on arrête la suite après les nombres 10, 100, 4000, etc., le nombre des carrés qu'elle renfermera sera 3 dans le premier cas, 10 dans le second, 31 dans le troisième, etc. Par conséquent, le rapport entre le nombre des nombres carrés et le nombre total des nombres entiers deviendra successivement : j^, ,-ttt;, jqtot, etc., et devra décroître indéfiniment. On peut d'ailleurs démontrer que l'intervalle des nombres carrés Consécutifs croît indéfiniment à mesure qu'on avance dans la suite. En cfTet, si l'on compare le carré du nombre entier n au carré du nombre suivant (n -+- 1), on trouve :

(» + !)■ — «« -4- 2n + 1 de sorte que la différence de deux nombres carrés consécutifs, dont le plus petit est ri1, est : 2n -+- 1 *. On voit que cette différence croît indéfiniment avec >t, et même plus rapidement, de sorte que si la

1 . K. I'illOS, ta Critique de Viafini, § VI, ap. Année philosophique 1890, p. 83.

2. C'est ce qui explique, en passant, que la série des nombres impair»

engendre la suite des nombres carrés

1, 4, 9, Ifi, 35

qui sont les sommes partielles s des nombres impairs [cf. p. 346, note 1]. Cela montre en même temps que les nombres carrés sont aussi nombreux que les nombres impairs, on encore que les nombres pairs, ou enlin que les nombres entiers. bien qu'ils ne forment que la première colonne du tableau ci-contre, qui contient tous les nombres entiers, et qui peut servir à lijjurcr géométriquement la loi suivant laquelle les nombres carrés se succèdent

IS

ss

dans la suite naturelle.

suite naturelle des nombres est prolongée à l'infini, les intervalles des nombres carrés successifs deviennent à la fin plus grands que tout nombre donné. A cet égard, le nombre des nombres carrés paraît être infiniment plus petit que le nombre total des nombres entiers, tandis qu'à un autre point de vue il lui est égal; et c'est là que Ton croit découvrir une contradiction. On arguë de ce fait que la proportion des nombres carrés va en décroissant indéfiniment dans la suite naturelle, pour faire présumer que leur nombre, étant infiniment petit par rapport au nombre infiniment grand des nombres entiers, ne peut être que fini.

L'exemple de Taire hyperbolique suffît à dissiper cette illusion, en montrant une grandeur (continue) qui, tout en croissant infiniment moins vite qu'une grandeur simplement infinie, n'en est pas moins infinie. L'analogie est évidente entre ces deux progrès à l'infini, l'un continu, celui des grandeurs, l'autre essentiellement discontinu, celui des nombres. Mais il y a plus : on peut rendre discontinu le progrès de6 grandeurs que l'on compare entre elles, en découpant les deux aires illimitées XACS et XACZ (/'ï</. 32) par

les ordonnées menées aux points d'abscisse 2, 3, 4, en tranches

contiguës de largeur égale, ayant toutes pour base, sur OX, l'unité de longueur. Toutes les tranches de la bande XACZ sont égales; au contraire, celles de l'aire asymptotique XACS décroissent indéfiniment, et leur rapport à la tranche correspondante de la bande devient infiniment petit. Pareillement, dans des intervalles égaux de la suite naturelle des nombres, les nombres carrés se font de plus en plus rares, et leur nombre, dans un intervalle donné, devient de plus en plus petit à mesure que cet intervalle est pris plus loin dans la suite; et de même que Taire hyperbolique s'amincit et s'évanouit à Tin fini, de même les nombres carrés se raréfient et disparaissent pour ainsi dire de la suite naturelle à l'infini. Mais de même que les accroissements de plus en plus petits de Taire hyperbolique, pris dans leur totalité, forment une aire infinie, de même les nombres carrés, de moins en moins nombreux à mesure qu'on avance dans la suite naturelle, sont néanmoins en nombre infini.

Bien plus, cet argument fallacieux se retourne contre la thèse qu'il prétend prouver : car tant que le nombre des nombres entiers est fini, si grand qu'il soit, il est beaucoup plus grand que celui des nombres carrés compris dans la même portion finie de la

suite; et même, plus il augmente, plus l'inégalité s'accuse, et plus le rapport du second nombre au premier diminue, de sorte qu'il y aurait alors vraiment contradiction à les supposer égaux. La contradiction cesse, au contraire, dès que l'on considère la suite, non plus comme se prolongeant indéfiniment et se faisant sans cesse, mais comme existante et donnée dans sa totalité, c'est-à-dire dès que Ton conçoit le nombre de ses termes, non plus comme indéfini, mais comme infini. En effet, tant que ces deux nombres restent finis, ils ne peuvent être à la fois inégaux et équivalents; ce n'est que dans l'hypothèse de leur infinité absolue que le nombre des nombres carrés peut devenir, non pas égal, mais équivalent au nombre des nombres entiers, qui le surpasse infiniment *.

6. De tout ce qui précède ressort une analogie profonde entre les propriétés des nombres et celles des grandeurs : de même qu'il y a des grandeurs finies et infinies, composées d'un nombre infini de parties, de même il y a des séries convergentes et divergentes, c'est-à-dire des sommes d'un nombre infini de termes, qui ont une valeur finie ou infinie. De part et d'autre, il faut bien se garder de croire que la somme d'une infinité de grandeurs ou de nombres soit nécessairement infinie, et de voir une contradiction dans le fait qu'une telle somme puisse être égale à un nombre fini ou à une grandeur finie. On ne doit pas, en effet, confondre l'infinité de forme avec l'infinité de grandeur, ni s'étonner qu'une aire, par exemple, soit à la fois finir et illimitée. L'illimilation d'une grandeur, soit finie, soit infinie, est d'ailleurs toute relative : elle implique simplement qu'une de ses dimensions est infinie; et, en ce sens, l'infinité de forme se ramène à une espèce d'infinité de grandeur. Mais elle n'implique à aucun degré l'indétermination de la grandeur considérée : les aires asymptotiques que nous avons étudiées [3 et 4] sont exactement délimitées par la courbe, d'une part, et l'asymptote, de l'autre, de sorte que leur grandeur et leur forme sont également bien définies. Ainsi, de même que l'on peut, en Arithmétique, considérer des ensembles infinis et cependant fermés [n, 8], de même, en Géométrie, Ton peut étudier et même mesurer des aires illimi-

1. On remarquera que, dans le tableau de la page 480, note 2. l'ensemble des nombres entiers est rangé de telle sorte qu'il ait pour nombre <os, tandis que la suite des nombres carrés, qui forme la première colonne verticale, a pour nombre <•>. On voit que le rapport de ces deux nombres infinis est a>, ce qui ne les empêche pas d'avoir la mdmc puissance, attendu que le nombre de la suite naturelle des nombres est justement ta. (Cf. Note IV, § IV.]

CH. III. — DE LA GRANDEUR INFINIE ABSTRAITE 4g3

tées, et néanmoins bornées; et cette analogie peut servir à faire comprendre la première proposition au moyen de la seconde, dont la vérité est intuitive.

7. Ces considérations prouvent, entre autres choses, que les mathématiciens peuvent et savent se donner des grandeurs infinie» aussi bien définies que des grandeurs finies, et cela, parce qu'ils se les donnent d'abord dans leur totalité. Ainsi, les courbes à branches infinies sont données tout entières, y compris leurs points à l' in uni, dans leur définition géométrique ou analytique [cf. lro P., IV, m, 10], et par suite les aires qu'elles enferment avec leurs asymptotes sont rigoureusement déterminées du même coup, jusqu'à l'infini inclusivement. Ce n'est qu'ensuite que l'on décompose ces grandeurs, données en bloc, en un nombre fini ou infini de parties, pour les mesurer : mais tous les procédés de décomposition appliqués aux aires, par exemple, les supposent données d'avance dans leur totalité, et ne peuvent pas, en général, servir à les engendrer. Aussi l'épithète d'indéfini n'a pas de sens pour elles : elle ne peut s'appliquer qu'à la grandeur finie et sans cesse variable que l'on obtient par la sommation successive de leurs parties, mais non à la grandeur fixe (finie ou infinie) dont elle approche indéfiniment et qui est sa limite [cf. i™ P., IV, i, 5]. De même qu'il est illégitime de supposer qu'une collection ne puisse être donnée que par rémunération de ses termes, et qu'on ne peut, sans cercle vicieux, engendrer un nombre entier déterminé par l'addition répétée de l'unité à elle-même [I, m, 11], il est absurde de prétendre constituer iu&e grandeur finie ou infinie par la sommation progressive de ses éléments (en nombre infini), car le tout est antérieur à ses parties, et Ton ne peut même concevoir les parties que dans le tout préalablement donné.

8. Leatfxemples géométriques que j'ai cités plus haut vous montrent, en outre, que les mathématiciens ont d'autres procédés de mesure que l'addition successive des éléments de la grandeur à mesurer. Encore une fois, peu importe que cette grandeur soit finie ou infinie : on peut toujours (en vertu de Yaxiome de la divisibilité indéfinie) la décomposer suivant une règle telle, que le nombre de ses parties soit infini, et que par suite on ne puisse pas en faire la somme par la méthode élémentaire. C'est ainsi que nous avons imaginé tout à l'heure les aires asymptotiques de l'hyperbole et de la cissoïde comme partagées en tranches d'égale largeur, suivant les

unités de longueur consécutives de leur asymptote. Or ce mode de décomposition (qui n'est autre que la méthode pratique de l'arpentage) ne saurait convenir à une aire illimitée, et il est clair qu'en employant ce procédé empirique et grossier l'on n'arriverait jamais à mesurer dans leur totalité les grandeurs données, et à trouver leur valeur exacte, pas plus la valeur finie et déterminée de Tune (cissoïde) que la valeur infinie, mais également déterminée, de l'antre (hyperbole). Les géomètres s'y prennent plus adroitement, et ne vont pas s'embarrasser de ces moyens vulgaires, qui, suffisants pour la pratique, ne sont nullement nécessaires en théorie. Ils ont d'autres méthodes de sommation qui leur permettent de mesurer une grandeur et de totaliser l'infinité de ses éléments. Ces méthodes portent le nom général d'intégration \ qui indique bien, en effet, que l'on reconstitue la grandeur entière par la sommation de ses innombrables parties.

9. Pour se rendre compte de la légitimité de ces méthodes et de l'exactitude des résultats qu'elles fournissent, il ne faut pas oublier que, si Ton a obtenu une infinité de parties intégrantes, c'est en décomposant suivant une certaine loi une grandeur donnée dans son intégrité : aussi cette loi de décomposition repose-t-elle, au fond, sur l'idée de la grandeur à intégrer, de même que les suites et séries infinies supposent l'idée du nombre qui en est la limite, et dont elles ne sont que des approximations indéfinies [lre P., II, îv, 15]. Pour mieux dire, il n'y a pas là une simple analogie, mais une identité radicale, car la divisibilité indéfinie du nombre dérive de la divisibilité infinie de la grandeur. Si par exemple on peut écrire :

c'est parce que 2 représente une grandeur divisible à l'infini, qui, par suite, contient sa moitié, son quart, son huitième, et ainsi de suite à l'infini ; car, au point de vue purement arithmétique, le nombre 2 = 1 + 1 a deux parties, ni plus ni moins. C'est au point de vue de l'Analyse que le nombre 2 est la somme d'un nombre infini de fractions, parce que la grandeur correspondante est la

1. Sous ce nom nous réunissons, avec M. Renolvier (Principes de la Sature, eh. m, app. C), l'intégration proprement dite et la sommation des séries infinies, qui sont des opérations arithmétiques bien différentes, mais dont le principe et la valeur logique sont tes mêmes.

somme des grandeurs représentées par ces fractions, lesquelles sont toutes données avec et dans la grandeur totale mesurée par le nombre 2. Sans doute, si Ton somme progressivement les termes de la série infinie, comme on n'en additionnera jamais qu'un nombre fini, leur somme ne sera jamais égale à 2; mais, en un autre sens, la série est donnée tout entière dans sa loi de formation, qui est ici la loi de décomposition de la grandeur mesurée par 2 (bipartition indéfinie [lra P., II l, h, 6]), de sorte que tous ses termes sont donnés d'avance dans la divisibilité infinie de la grandeur qui en est la somme. C'est parce que la grandeur continue supporte pour ainsi dire la division à l'infini qu'on peut la représenter par une série infinie ; et c'est parce qu'elle est la somme d'un nombre infini d'éléments que l'on peut sommer tous les termes de cette série. Ainsi, au point de vue numérique, l'égalité précédente sera, si vous le voulez, une égalité « imparfaite » * ou symbolique; mais au point de vue géométrique ou analytique, c'est une égalité parfaite et exacte, car la grandeur mesurée par 2 est rigoureusement égale à la somme de ses parties intégrantes. La limite, qui ne pouvait être atteinte dans le domaine du nombre par l'addition successive des termes, peut et doit être atteinte dans le domaine de la grandeur, parce qu'elle préexiste à la série infinie par laquelle on l'exprime, et lui sert en quelque sorte de fondement *.

10. Je vous accorderai donc, si vous y tenez, que le Calcul infinitésimal n'est qu'une « méthode d'approximation indéfinie » 8, pourvu que vous reconnaissiez qu'une approximation indéfinie n'est possible et intelligible que grâce à l'idée de la grandeur qui en est la limite, et que vous ne m'empêchiez pas d'atteindre cette grandeur précise, en interdisant le « passage à la limite » 4. Déclarer les inté-

i. Carnot : voir 4" P., III, i, 14.