Cf. in P., IV, i

3. Rbrouvibr, Principes de ta Nature, loc. cit. (t. I, p. 62).

4. C'est grâce au « passage à la limite > que Ton peut comprendre rationnellement (nous ne disons pas : justifier logiquement) les intégrales qui prennent des valeurs rationnelles ou même entières. Les exemples en seraient nombreux et aisés à trouver; nous n'en citerons qu'un seul : celui de la fonction Eulérienne de seconde espèce V(a), qui prend une valeur entière pour chaque valeur entière positive de la variable a [voir 1" P., II, iv, 6]. Cet exemple est d'autant plus remarquable que non seulement cette fonction est (comme toute intégrale) une limite, mais que, ayant pour limite (ou mieux : pour borne [voir p. 461, note 1]) supérieure Vinfini, elle est définie comme limite d'une intégrale ayant ses bornes finies : de sorte qu'elle est pour ainsi dire une limite de limites; et pourtant, la fonction n'aurait pas de sens si elle n'atteignait pas précisément ses valeurs entières. Cette remarque est analogue à celles que nous

grations illégitimes et même « impossibles » !, c'est méconnaître la nature de la grandeur et ruiner la Mathématique, en lui défendant de reconstruire les grandeurs après les avoir décomposées. En effet, toote grandeur étant essentiellement divisible à l'infini, on ne pourrait jamais la mesurer exactement s'il n'était permis, après l'avoir résolue en éléments infiniment petits, de sommer ces mêmes éléments en nombre infini, c'est-à-dire de les intégrer. Il faut bien que la synthèse * soit infinie comme l'analyse* qui l'a précédée, si l'on veut reconstituer la grandeur totale après l'avoir dissoute; d'autant mieux que cette analyse infinie présuppose elle-même la grandeur synthétiquement et intégralement donnée. Autrement on rendrait Lai science des grandeurs pour ainsi dire boiteuse ou manchote, en n'admettant que le Calcul différentiel et en supprimant le Calcul intégral.

C'est en ce sens qu'il faut comprendre la théorie des erreurs compensées de Carnot : ainsi interprétée, elle devient juste et même profonde 3. On ne commet pas une erreur en considérant un cercle, par exemple, comme un polygone d'un nombre infini de côtés 4, mais au contraire quand on le considère comme un polygone d'un nombre fini de côtés; et Ton ne compense cette erreur qu'en supposant que ce nombre croît indéfiniment et devient infini. En général, ce n'est pas en supposant que les éléments d'une grandeur continue sont en nombre infini que l'on fait une « fausse hypothèse », mais bien plutôt en la concevant comme composée d'un nombre fini d'éléments finis, dont la somme n'en donnerait jamais, si grand que fût leur nombre, qu'une valeur approchée, donc toujours inexacte. C'est pourquoi Ton corrige cette « supposition erronée » en rendant les éléments infiniment petits, et par suite leur nombre infiniment grand, et en « passant à la limite », c'est-à-dire en rétablissant la continuité de la grandeur après l'avoir morcelée et détruite. Grâce à ce merveilleux artifice, on parvient à mesurer les grandeurs géométriques et physiques, non pas, comme vous le pensez, en substituant

avons faites touchant les valeurs entières des fondions transcendantes, et les relations exactes obtenues au moyen des imaginaires. [1"" P., II, iv, 13, 15; IW, i, 13; cf. IV, n, 5.]

ï. Rrnouvibk, Principes de la Nature (t. I, p. 56).

?. Nous prenons ici ces deux mots dans leur sens philosophique et étymologiqae, et non dans le sens traditionnel qu'ils ont pris dans la langue des Géomètres.