CHAPITRE IV

1. Le Finitiste — Je vous accorderais encore que la grandeur infinie et continue est concevable, parce qu'il ne s'agit là que d'un infini idéal et potentiel qui n'existe que dans l'esprit. Mais ce que je ne puis admettre, c'est qu'une telle grandeur existe dans la réalité, car ce serait alors un infini actuel qui me paraît contradictoire. Par exemple, « il n'y a point de ligne droite inOnie; mais toute ligne droite peut toujours être prolongée, ou surpassée par une autre plus grande.... Nous concevons bien.... que toute ligne droite peut être prolongée, ou bien qu'il y a toujours une ligne droite plus grande que la donnée; mais cependant nous n'avons point l'idée d'une ligne droite infinie, ou qui soit plus grande que toutes les autres qu'on peut assigner 1. »

L'Infinitiste. — A quoi Leibnitz a péremptoirement répondu :

« L'Auteur ajoute que dans la prétendue connoissance de l'infini,

l'esprit voit seulement que les longueurs peuvent être mises bout-àbout et répétées tant qu'on voudra. Fort bien ; mais cet Auteur pouvoit considérer, que cest déjà connoitrc Vin fini, que de connoitre que celte répétition se peut toujours faire *. »

Et en effet, de même que, si vous m'accordiez qu'il y a, présentes et données, plus de choses qu'aucun nombre (fini) ne peut exprimer, vous m'accorderiez qu'il existe une multitude infinie [cf. Ch. n, 10]; de même, si vous reconnaissez que toute ligne droite finie est de

4. Examen des principes du /?. P. Maie branche, ap. Lkibmtz, éd. Dutcns, t. II, part. I, p. 212.

2. Lettre de M, Leibnitz à M, Remond de Montmort, contenant des Remarques sur te Livre du P. du Tertre contre le P. Malebranche, § VI : Hanovre, 4 nov. 1115 (Dutens, t. Il, part. I, p. 216). — Cf. Nouveaux Essais, liv. 11, ch. xvu, § 4 {passage cité p. 408, note 1).'

telle nature qu'il existe toujours une droite plus grande !, vous admettez parla même que la ligne droite est actuellement prolongée au delà de toute longueur finie, et par conséquent qu'elle est absolument infinie *.

Fin. — Non pas : je considère la ligne droite comme indéfinie, c'est-à-dire comme pouvant toujours être prolongée : elle n'est donc pas infinie, et ne peut pas le devenir, car si loin qu'on la prolonge, elle restera toujours finie.

Inf. — Sans doute elle sera toujours finie; mais aussi elle ne sera jamais complète, et sera toujours susceptible d'un nouveau prolongement. Or ce prolongement, c'est encore la droite considérée, de sorte qu'elle est en effet toujours plus grande que toutes les longueurs finies que vous en prenez.

Fin. — Et c'est justement pour cela que je la nomme indéfinie : cette possibilité de prolonger sans cesse une droite donnée constitue son infinité potentielle, et exclut son infinité actuelle.

Inf. — Vous oubliez que cette possibilité de prolongation indéfinie est donnée avec la droite elle-même. Gomment, en effet, pourriezvous porter sur une droite des longueurs de plus en plus grandes, trouver sur elle des points de plus en plus éloignés, et cela indéfiniment, si cette droite ne vous était donnée tout entière avec son infinité? Donner deux points d'une droite, c'est la donner dans sa totalité, non pas indéfinie, mais infinie; c'est déterminer d'avance et d'un seul coup tous les points qui la composent, jusques et y compris son point à l'infini [v. lro P., IV, i, 7] 3. Ainsi la droite

1. Ce sont les propres termes de Leibnitz : « Accurateque loquendo, loco numeri infiniti dicendum est plura adesse, quam numéro ullo exprimi possint; aut loco Unes infinitœ, productam esse lincam ultra quamvis magnitudinem, quœ assignari potest, ita ut semper major recta ad si t. » Lettre au P. des Bosses, 11 mars 1706 (Dutens, t. H, part. I, p. 267). — On voit par là ce que vaut cette concession apparente qu'il fait aux [initiales {ibid.) : « Ego philosophice loquendo non m agi s statuo magnitudines infinité parvas quam infinité magnas, seu non magis inûnitesimas quam inflnituplas. Utrasque enim per modum loquendi compendiosum pro mentis fîctionibus habeo, ad calculum aptis, quales etiam sunt radiées imaginante in Algebra » [passage cité p. 146, note 1]. Seulement ce n'est pas « philosophice -, mais « mathematice loquendo > qu'il aurait dû dire : car si l'indéfini peut, mathématiquement, suppléer l'infini, c'est parce que, philosophiquement, il le suppose.

2. Cf. H. Lotze, L'infini actuel est-il contradictoire? et Rekouvier, Réponse à M. Lotze, ap. Revue philosophique, t. IX. L'exemple de la tangente trigonométrique, employé par ces deux auteurs dans leur discussion, a été traité par nous : Livre II, Ch. iv, il.

3. Et inversement, donner le point à l'infini d'une droite, c'est déterminer sa direction [voir in P., IV, i, 2; m, 4],

entière est absolument infinie, et c'est son infinité même qui permet de prolonger indéfiniment tout segment fini que Ton dépoupe sur elle; de sorte que son infinité potentielle implique son infinité actuelle, bien loin de l'exclure, comme vous le prétendez.

C'est ce que Leibnitz avait parfaitement compris, lorsqu'il disait que les arguments scolastiques dirigés contre l'infini actuel portaient aussi sur l'infini potentiel ! : et si parfois il semble admettre que celui-ci suffit à la science, c'est qu'il savait bien que l'infini potentiel enveloppe l'infini actuel, et ne peut se comprendre que comme substitut de ce dernier. L'inventeur du Calcul infinitésimal n'entendait pas et ne pouvait pas renoncer à affirmer l'existence de l'infini, non seulement dans l'esprit, mais encore et surtout dans la réalité *.

2. Fin. — C'est précisément cette existence d'un infini réel que vous devriez établir, pour me convaincre d'erreur; or vous n'avez jusqu'ici soutenu que l'infini idéal et abstrait : car c'est toujours sur la droite idéale du géomètre que vous raisonnez. J'admets que vous ayez établi la possibilité de concevoir l'infini; mais vous n'avez encore rien fait, si vous ne réussissez pas à démontrer la réalité d'une grandeur concrète infinie.

Inf. — Vous n'attendez pas de moi, je suppose, que je démontre l'existence d'une grandeur infinie : une telle proposition (comme toutes les propositions d'existence 3) ne saurait 6e démontrer logiquement et a priori. Vous ne me demandez pas non plus de vous montrer une grandeur infinie : car c'est une chose qui, par sa nature, échappe nécessairement à l'intuition sensible, toujours limitée. Vous croyez m'embarrasser sans doute en me mettant au défi d'établir l'existence d'un infini réel, et vous vous flattez de m'acculer à une impasse. Mais je n'ai nullement besoin, pour en sortir, de prouver l'existence réelle et actuelle de l'infini. Quelle est en effet votre thèse? C'est, non pas : « La grandeur infinie n'existe pas en fait », mais bien : « La grandeur infinie ne peut pas exister ». Ce que vous

1. « Atqtie turc sufficcre pulo ad satisfaciendum omnibus argu mentis contra infinitum actu, quve etiam ad infinitum potentiale suo modo adhiberi debent. • Lettre au P. des Rosses, du 11 mars 1700.

2. - Infinitum aclu in nalura dari non duhito. » Lettre au P. des Bosses, du 14 février 1700 (Dutens, t. H, part. I, p. 265. Cf. p. 260, 207; et Réponse fie M. Leibnitz à la lettre de M. Faucher...., p. 243).

3. « Exislenzialsatz ». Cf. Kant, Critique de la Raison pure. Postulats de la pensée empirique en général.

niez, ce n'est pas seulement la réalité, c'est la possibilité même d'une grandeur infinie. Pour réfuter votre doctrine, il n'est donc pas nécessaire de vérifier la réalité d'une telle grandeur : il suffit d'en avoir établi la possibilité. Or cette possibilité ressort de toute notre discussion, et vous venez de la reconnaître en m'accordant que l'infini est concevable, c'est-à-dire non contradictoire. En effet, on n'a, « en dehors de la contradiction, aucun moyen de juger a priori de l'impossibilité par de simples concepts purs1 ». Si donc vous admettez l'infini comme possible, la logique ne vous permet pas de rejeter a priori l'infini réel : car pour qu'on pût déclarer a priori l'infini actuel impossible, il faudrait que l'infini potentiel fût inconcevable.

Dans tous les cas, il est absurde de prétendre démontrer par des arguments logiques, fondés sur le principe de contradiction, l'impossibilité de l'infini réalisé. D'où viendrait, en effet, la contradiction qui doit être la marque de cette impossibilité? De deux choses l'une : ou bien elle réside dans l'idée même de l'infini, ou bien elle naît du rapprochement de cette idée avec celle de réalité, et réside dans le concept d' « infini réalisé». Or, dans ce dernier cas, comment l'idée d'infini, supposée non contradictoire en soi, pourrait-elle se trouver en contradiction avec l'idée de réalité? Je ne nie pas, remarquez-le bien, qu'elle puisse être incompatible avec telle ou telle réalité concrète et empiriquement donnée : car on aurait alors * un critérium a posteriori, non de la possibilité, mais de la réalité de l'infini 8. Je vous demande pourquoi l'infini « en soi » serait-il contradictoire avec la réalité « en soi »? il est probable que vous déterminez implicitement cette idée abstraite en lui donnant un contenu concret incompatible avec l'infini : mais alors, ce n'est pas avec la réalité « en soi », c'est avec telle réalité particulière et donnée que l'infini

i. Kakt, Critique de la Raison pure, 2° éd., p. 624.

2. Conformément à la doctrine kantienne des postulats de la pensée empirique.

3. Far exemple, les arguments apportés contre l'hypothèse de la continuité de la matière par le mémoire de Saiïit-Vewant et les calculs de Poisson et de Caoghy (cités par M. Rknouvier, Principes de la Nature, ch. m : t. I, p. 30) sont des preuves a posteriori, fondées sur ce fait d'expérience, que la matière qui constitue notre monde n'est pas « une atmosphère vague et sans consistance • . Quelle qu'en soit la valeur (que nous n'avons pas à apprécier ici), c'est là une démonstration physique et empirique, non de « l'impossibilité des masses continues », mais de leur non-existence de fait dans notre monde; et elle ne confirme nullement la « preuve rationnelle pure -, c'est-à-dire la prétendue démonstration mathématique et a priori de l'impossibilité du nombre infini, et par suite de la grandeur continue.

se trouve en contradiction : nous retombons ainsi dans le cas que je viens de prévoir et d'écarter. Vous subsumez, sans vous en douter, sous ce concept pur une matière empirique essentiellement finie, et vous croyez que la réalité implique analytiquement la « finité » : vous ne vous apercevez pas que vous postulez ainsi une proposition telle que : « Toute réalité est finie », que vous ne pourrez jamais démontrer a priori, attendu qu'elle est synthétique (comme tout jugement d'existence), et qu'aucune nécessité logique n'y rattache l'attribut au sujet. Avouez donc que, pour démontrer l'impossibilité de l'infini réalisé, vous commettez une pétition de principe, en vous appuyant sur la proposition même que vous voulez prouver, ou sur un postulat équivalent.

3. D'ailleurs, comment l'idée de réalité en général pourrait-elle contredire n'importe quelle autre idée, étant par elle-même absolument vide et indéterminée? Rappelez-vous la critique décisive que votre maître Kant a faite de l'argument ontologique : « Être n'est évidemment pas un prédicat réel, c'est-à-dire un concept de quelque chose qui puisse s'ajouter au concept d'une chose; c'est simplement la position d'un objet... Quand je dis : « Dieu existe », je n'ajoute pas un prédicat nouveau au concept de Dieu : je pose seulement le sujet pris en lui-même avec tous ses prédicats, c'est-à-dire Yobjet par rapport à mon concept... Ainsi le réel ne contient rien de plus que le simple possible. Cent thalers réels ne contiennent rien de plus que cent thalers possibles... l » Si donc le concept de l'infini réalisé vous parait contradictoire, cette contradiction n'est pas le fait du concept de réalité, qui n'est pas un attribut véritable, mais du concept de l'infini lui-même. Et si (comme j'espère l'avoir établi) l'idée d'infini ne recèle aucune contradiction intrinsèque, il ne peut y avoir aucune contradiction extrinsèque entre cette idée et le pseudo-concept de réalité.

En résumé, si l'infini, selon vous, ne peut être réalisé dans la nature, cela vient uniquement de ce que vous considérez l'idée d'infini comme contradictoire en soi. C'est ce que les néo-criticistes ont bien senti : car, tout en argumentant contre l'infini réalisé comme s'ils avaient admis l'idée d'infini, ils se sont efforcés de ruiner celleci et ont soutenu qu'elle est inconcevable. Ils se sont aperçus, sans doute, qu'ils ne réussiraient à bannir l'infini de la nature que s'ils

1. Critique de la Raison pure, De l'impossibilité d'une preuve ontologique de l'existence de Dieu (2* éd., p. 626-621).

l'excluaient d'abord de l'esprit1. S'ils ont imposé à la nature la loi du nombre, c'est parce qu'ils ont considéré le nombre « comme catégorie, comme loi de la représentation, de la pensée, c'est-à-dire de toute représentation, de toute pensée * ». Et s'ils ont cru devoir proscrire de la nature toute espèce d'infini, ce n'est pas à cause de la contradiction entre l'infinité et la réalité, mais à cause de la contradiction intrinsèque de l'idée d'infini 9.

4. Fin. — Je maintiens néanmoins ma distinction de l'infini potentiel et de l'infini actuel, qui me semble légitime et nécessaire. La différence essentielle entre ces deux notions, c'est que l'infini potentiel n'existe et ne peut exister que dans l'esprit, tandis que l'infini actuel serait donne tout fait dans la nature. Par la pensée, je puis faire croître la grandeur indéfiniment, et concevoir toujours une grandeur (finie) plus grande que la grandeur donnée. Mais dans la nature, la grandeur est donnée, donc fixe et déterminée : je ne puis plus la supposer indéfiniment « prolongeable », il faut que je la conçoive comme actuellement prolongée à l'infini : et c'est ce qui me paraît impossible. Ainsi l'infini potentiel peut n'être pas contradictoire en soi. mais le devenir quand on le suppose réalisé.

Inf. — Je crains que vous ne commettiez une équivoque en vous servant de cette distinction scolastique de l'infini potentiel et de l'infini actuel, qui est obscure et ambiguë *. En effet, elle équivaut, d'une part, à l'opposition de l'abstrait et du concret, de l'idéal et du réel; et d'autre part, elle se ramène à la distinction de l'indéfini et de l'infini, l'un variable, l'autre constant 5. Or vous semblez confondre ces deux sens, en employant tour à tour ces mots dans leur

1. C'est pourquoi M. Rbnouvikr a essayé de déduire l'impossibilité du nombre infini concret de celle du nombre infini abstrait [n, 1] : cela montre bien que, si Ton admet le nombre infini abstrait, on n'a plus de raison pour repousser le nombre infini concret [cf. 11, 12].