M. Pillon, Année philosophique 4890, p

3. • C'est le principe de contradiction qui arrête au passage l'idée de l'être infini, qui la repousse absolument, qui explique pourquoi elle est incompatible avec notre constitution intellectuelle, pourquoi elle l'est nécessairement avec toute constitution intellectuelle. C'est le principe de contradiction qui ne laisse d'accès en notre esprit qu'à l'idée d'infini en puissance ». laid., p. 17; cf. p. 8ti, note i.

4. a En Géométrie, on ne raisonne point des quantitez avec celte distinction qu'elles existent, ou bien effectivement en acte, ou bien seulement en puissance. » Dbsahgues, Traité des coniques, fin (éd. Poudra, t. I, p. 228).

5. Cf. !r* P., IV, 1, 5. — « On ne peut dire indéfini que de ce qui devient, est en mouvement, de ce qui /lue. Une grandeur donnée fixe est finie ou infinie. » (Evbllin, Infini et quantité.)

double acception '. Si l'infini potentiel ne diffère de l'infini actuel que comme l'idéal du réel, je ne vois pas, encore une fois, pourquoi celui-ci serait plus contradictoire que celui-là. Comment ces deux concepts pourraient-ils avoir une valeur si inégale, si vraiment ils ont le même contenu, c'est-à-dire si Vinfini a le même sens dans l'un et l'autre? L'un présente comme réalisé ce que l'autre présente comme possible : dès lors, en admettant l'infini potentiel, vous admettez du même coup la possibilité de l'infini actuel. Si, au contraire, par infini potentiel vous entendez l'indéfini, il est inutile et même fâcheux de lui donner le nom d'infini, attendu qu'il est essentiellement fini : votre infini actuel est alors l'infini proprement dit, et il vaut mieux l'appeler purement et simplement Vinfini.

5. Fin. — Pour vous faire mieux comprendre ce que j'entends par cette distinction, je vais l'appliquer au continu, ce qui revient au même : car je n'admets pas plus, dans la nature, de grandeurs continues que de grandeurs infinies, et pour les mêmes raisons. J'accepte la divisibilité des grandeurs à l'infini, c'est-à-dire la possibilité pour l'esprit de pousser toujours plus loin une division toujours finie : le nombre des parties ainsi obtenues sera un infini potentiel. Mais je ne puis concevoir une grandeur réelle comme divisible à l'infini, parce que le nombre de ses parties réelles serait un infini actuel. Ce qui fait pour moi la différence capitale entre ces deux infinis, c'est qu'une grandeur idéale est simplement divisible, tandis qu'une grandeur réelle est actuellement divisée. Le nombre des parties de la première dépend de ma pensée : il est par suite indéfini, c'est-à-dire fini, mais aussi grand que je le veux; le nombre des parties de la

1. Pour prouver que cette confusion est réelle, il nous suffira de rapprocher quelques lextes de M. Rbnouvier. Dans sa Note sur Vinfini de quantité il considère à la fois l'inimité actuelle de la suite des nombres abstraits et l'infinité actuelle d'une suite d'objets concrets, ce qui prouve qu'il emploie ici l'infini actuel dans notre deuxième sens. Mais, au même endroit, il dit : « Par opposition à l'infini actuel, Vinfini des possibles est ce qu'on nomme Y indéfini •• 11 identifie ainsi notre deuxième sens au premier. - De môme M. Pillon écrit: ■ L'idée d'infini en puissance ne peut s'appliquer qu'à ce qui devient» {Année philosophique 1890, p. "8): « le mot indéfini s'appliquant aujourd'hui à l'infini en puissance • (p. 5t>); - l'idée d'infini en puissance, c'est-à-dire d'indéfini » (p. 112, cf. p. 114). D'autre pari, il oppose « une pluralité possible et indéfinie - a « une pluralité re'ellej actuelle, ou d'objets donnés » (p. 122); ailleurs, il parle de « l'infini actuel et réalisé de grandeur • (p. 111) et emploie constamment comme synonymes les mois réel cl actuel, idéal et potentiel (p. 98). — C'est afin d'éviter de semblables confusions que M. Kveli.in a été obligé de créer les mots idéo-polentiel et iiléoactuel pour désigner ce que nous appelons indéfini et infini (Revue de Métaphysique et de Morale, t. I. p. Mil, ce qui prouve qu'il a reconnu l'équivoque cachée dans les termes de potentiel et (.Yacluel.

seconde est au contraire donné dans la réalité : il ne peut donc être que fini...

Inf. — Ou infini. Voilà qui est clair. Seulement je vous ferai remarquer que votre distinction de l'infini potentiel et de l'infini actuel revient à présent à celle de l'indéfini et de l'infini. En effet, vous reconnaissez la divisibilité indéfinie des grandeurs, et vous niez leur divisibilité infinie.

Fin. — Je nie leur division actuelle en un nombre infini de parties intégrantes. Mon imagination peut bien augmenter indéfiniment une grandeur idéale, ou en prolonger indéfiniment la division, de manière à obtenir des parties aussi petites que je voudrai et en aussi grand nombre que je voudrai. Mais dans la réalité, il faut s'arrêter dans le sens de la grandeur et dans celui de la petitesse, parce que chaque chose a telle grandeur et non pas telle autre, tel nombre de parties et non pas tel autre. Ainsi l'esprit est le domaine de l'indéfini, parce que dans l'abstrait rien ne limite le pouvoir de l'imagination et de la faculté numératrice; mais la nature est soumise à la loi du fini, parce que tout y est donné et déterminé. Tant qu'il ne s'agit que de parties idéales et de divisions possibles, j'admets fort bien qu'un centimètre, par exemple, contienne autant de parties qu'un kilomètre. Mais ce que je ne puis concevoir, c'est que ces deux longueurs, supposées réelles et concrètes, soient effectivement divisées en un même nombre de parties : car il est évident que si ces deux longueurs sont composées de parties égales, le kilomètre doit en contenir cent mille fois plus que le centimètre. En effet, le nombre de ces parties actuelles n'est pas variable, mais fixe : il ne dépend pas de votre fantaisie, il existe par lui-même. Or ce nombre, qui, en vertu de la continuité, devrait être le même pour les deux grandeurs, ne peut être en même temps un multiple de lui-même. Le continu réel et actuel implique donc contradiction.

6. Inf. — Vous venez de dire, sans le vouloir et sans vous en douter, tout ce qu'il faut pour prouver que le continu est, non seulement divisible, mais actuellement divisé en un nombre infini de parties. En effet, vous vous appuyez sur cette propriété des grandeurs continues d'être toutes semblables entre elles, si grandes ou si petites qu'elles soient, et d'être semblables à l'une quelconque de leurs parties; en un mot, d'être homogènes '. Oui, sans doute, « le

1. C'est en effet cette propriété que M. J. Delboeuf a nommée homogénéité de V espace {Prolégomènes philosophiques de la Géométrie, livre II, en. h, § 2, p. 443).

496 LIV. III. — LA CRITIQUE DE L'iNFINI

tout est homogène à la partie ; c'est là une contradiction, ou plutôt c'en serait une si le nombre des termes était supposé fini : il est clair en effet que la partie, contenant moins de termes que le tout, ne saurait être semblable au tout. » Mais « la contradiction cesse dès que le nombre des termes est regardé comme infini; rien n'empêche, par exemple, de considérer l'ensemble des nombres entiers comme semblable à l'ensemble des nombres pairs, qui n'en est pourtant qu'une partie; et en effet, à chaque nombre entier correspond un nombre pair qui en est le double l ».

Vous reconnaissez là un de vos arguments coulumiers contre le nombre infini '. Vous voyez que, loin de prouver l'impossibilité de ce nombre, il tend à en établir, au contraire, la légitimité et presque la nécessité : car c'est « pour échapper à cette contradiction » apparente qui nait de l'homogénéité essentielle des grandeurs, qu'on est obligé d'admettre que le nombre des parties de ces grandeurs est infini. Et n'espérez pas éluder celte conclusion en disant que ce nombre est indéfini, et que cela suffit à faire disparaître la contradiction indiquée. D'abord, cela n'aurait pas de sens, car, comme vous venez de le dire, ce nombre n'est pas variable, mais fixe : or tout nombre constant est fini ou infini. En outre, un nombre indéfini serait toujours Gni : or, quelle que soit sa valeur, tant qu'elle csl finie, elle donne lieu à la même contradiction. Vous ne pouvez donc assigner à ce nombre aucune valeur finie qui ne soit fausse et absurde sitôt que vous la posez et la fixez; et d'autre part il doit être absolument déterminé dans la réalité, puisque c'est le nombre des parties actuelles d'une grandeur donnée : il faut donc bien qu'il soit infini. Ainsi votre argument, au lieu de ruiner l'existence du continu, vous force à admettre le nombre infini.

Fin. — Vous allez trop loin ; l'argument prouve simplement ceci : si le continu existe dans la nature, le nombre actuellement infini est donné. Vous affirmez l'hypothèse, et vous en tirez la conclusion; moi, au contraire, je nie la conclusion, ce qui m'oblige à nier aussi l'hypothèse. Vous n'aurez raison que si vous me prouvez l'existence du continu : alors seulement je serai contraint d'admettre le nombre infini. Jusque-là, j'ai le droit d'afïirmer la loi du nombre, c'està-dire que toute grandeur réelle a un nombre fini et déterminé de parties, et partant est discontinue.

!. II. Poincaiik, np. Revu? de Métaphysique et de Morale, t. I, p. 30-31. 2. Voir Cli. i, 5.

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7. Lnf. — Encore un coup, je ne suis nullement obligé de prouver l'existence réelle du continu, mais seulement son existence idéale ou sa possibilité. D'ailleurs, le continu n'est même pas en cause, car si une grandeur continue est naturellement divisible à l'infini, une grandeur divisible à l'infini n'est pas nécessairement continue *. Je n'ai donc pas besoin d'invoquer la continuité essentielle des grandeurs, ni de supposer l'existence de grandeurs incommensurables. Pour réfuter votre loi du nombre, il me suffira de montrer qu'elle est incompatible avec les axiomes de la mesure des grandeurs, et non seulement avec l'axiome de la continuité, mais même avec l'axiome de la divisibilité indéfinie, que vous admettez. Supposons en effet que la loi du nombre soit vraie : toutes les grandeurs d'une même espèce seront composées d'un nombre fini de parties égales, d'éléments indivisibles. Il en résultera qu'elles seront toutes commensurables entre elles, puisque chacun de ces éléments est la « commune mesure » de toutes ces grandeurs. Il y aura donc un « minimum » de grandeur, qui sera l'unité naturelle pour l'espèce de grandeurs considérée. Pour mesurer une grandeur, il suffirait d'indiquer le nombre (entier et fini) d'éléments qu'elle contient. Mais, comme cet élément indivisible est probablement imperceptible, il ne pourra servir d'unité pratique de mesure, et l'on choisira pour cet office une grandeur sensible de même espèce, qui contiendra un nombre n de ces éléments (on doit supposer n très grand, mais nécessairement fini et déterminé). Alors toutes les grandeurs de même espèce auront pour mesures, par rapport à l'unité pratique adoptée, des fractions de dénominateur n (qui pourront d'ailleurs se simplifier dans bien des cas et se réduire à leur plus simple expression). Tout cela découle nécessairement de la loi du nombre, et de la conception des grandeurs réelles comme discontinues.

8. Or celte thèse a des conséquences étranges, qui choquent, non

1. On a vu, en effet [1" P., III, m, 4] qu'un système de grandeurs qui vérifie Y axiome de la divisibilité et Y axiome d'Archimède est seulement connexe. Kant s'est donc trompé en définissant la grandeur continue : « une grandeur dont aucune partie n'est la plus petite possible (n'est simple). » (Critique de la Raison pure, Anticipations de la perception : 2* éd., p. 211.) De même M. Renoijvier, quand il définit un système de points continu par ce fait qu'entre deux quelconques d'entre eux on peut toujours en trouver d'autres (Principes de la Sature, t. I, p. 63). L'un et l'autre ont confondu la continuité avec la divisibilité à l'infini [cf. lr* P., 1, iv, 6-7; III, m, 1-4]. Cette erreur est du reste bien excusable, ou plutôt elle était inévitable, car ce n'est que de nos jours (1812) que l'essence de la continuité a été découverte et rigoureusement définie par MM. Dedbkwd et Caktor [Voir II, m, 8, et Note IV, 69 J.

pas la logique, mais la raison : elles ne sont pas contradictoires, il est vrai, mais elles sont absurdes, ce qui est peut-être plus grave '. Pour fixer les idées et éclaircir la discussion, considérons par exemple les longueurs, et supposons que l'unité pratique (le mètre) soit un multiple décimal de l'unité naturelle, du minimum de longueur. On sait que les micrographes emploient pour unité de longueur le micron (a), c'est-à-dire le millième de millimètre; supposons que l'unité naturelle soit un millionième de micron, c'est-à-dire le millionième du millionième du mètre. Elle échappe évidemment, et échappera sans doute toujours aux microscopes les plus puissants, de sorte que l'expérience ne viendra jamais nous démentir. Dans cette hypothèse, toutes les longueurs du monde physique seraient commensurables avec notre mètre, et se mesureraient, en mètres, par des fractions ayant pour dénominateur

c'est-à-dire par des nombres décimaux ayant douze décimales au plus; de sorte que si l'on reculait la virgule de douze rangs vers la droite, tous ces nombres deviendraient des nombres entiers, exprimant le nombre d'éléments indivisibles qui composent les grandeurs respectives.

Cela posé, il existerait une longueur mesurée par le rapport f :

tandis qu'il n'en existerait aucune qui fût mesurée par le rapport très voisin, mais beaucoup plus simple :

En effet, pour qu'il existât une longueur mesurée par «, c'est-à-dire

égale aux deux tiers du mètre, il faudrait que le tiers de 10lf fût un nombre entier, ce qui est impossible, attendu que

io" = 2". r,,J

1. Cf. Renouvier, La philosophie de la règle et du compas, § XII, ap. Année philosophique 1891, p. -43.

2. On peut remarquer que la moitié de cette grandeur, mesurée par le rapport

jiip = 0,333 374 023 437 5

n'existerait pas, attendu que le nombre décimal qui la mesure a treize décimales; ainsi cette longueur, d'une étendue notable, ne serait même pas divisible par 2. (N. B. : 8192 — 2»3.)

n'est pas divisible par 3. Il va sans dire que le tiers du mètre n'existerait pas davantage, pour la même raison. Ainsi, dans un monde soumis à la loi du nombre, il y aurait une longueur qui serait divisible par 10, 100, 1000, etc., jusqu'à 10", mais qui ne serait pas divisible par 3. En général, une grandeur quelconque ne serait pas divisible en un nombre quelconque de parties égales : car si elle contenait n fois l'unité naturelle, elle ne serait divisible que par les diviseurs du nombre n. La loi du nombre contredit donc l'axiome de la divisibilité, qui est un postulat indispensable de la mesure des grandeurs.

9. Il y a plus : lors même que vous accorderiez la possibilité de subdiviser indéfiniment l'unité pratique (le mètre) par 10, on n'obtiendrait jamais une grandeur égale aux deux tiers du mètre : car, si grand que soit l'exposant n (nombre entier fini), 10n ne sera jamais divisible par 3. Il n'y a donc aucun nombre décimal, quel que soit le nombre de ses décimales, qui puisse exprimer le rapport de 2 à 3. Ce rapport ne peut être représenté que par le nombre décimal illimité :

en supposant le nombre de ses chiffres décimaux, non pas indéfini (car il ne peut être ni variable ni fini) mais absolument infini. En effet, pour mesurer (en fraction décimale) la grandeur dont le rap-

port à l'unité est «* il faudrait diviser l'unité en 10, en 100, en 1000...

parties égales, sans pouvoir s'arrêter dans cette subdivision systématique, et sans trouver jamais une fraction décimale de l'unité qui soit égale à la grandeur à mesurer; ce qui prouve que cette grandeur contient un nombre infini de parties décimales de l'unité (6 dixièmes, 6 centièmes, 6 millièmes, etc.). C'est pourquoi sa mesure sera exactement exprimée par le nombre décimal illimité, parce que toutes les fractions décimales dont il se compose sont données d'avance dans la grandeur à mesurer, avec sa divisibilité à l'infini. [Cf. m, 9.] Ainsi l'infini se trouve déjà impliqué dans la divisibilité indéfinie des grandeurs, sans qu'on les suppose continues, car il s'impose dès qu'on veut mesurer par des fractions systématiques * certaines grandeurs comme» surables avec l'unité. C'est pourquoi l'infini s'introduit

1. On appelle fraction systématique (Stolz, op. cit., t. I, ch. iv), une série de fractions ayant pour dénominateurs respectifs les puissances successives d'un même nombre. Pour les fractions décimales, ce nombre est 10.

500 LIV. m. — LA CRITIQUE DE L IXFI5I

dans l'Arithmétique élémentaire, par la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales, sous la forme de nombres décimaux périodiques, qui sont une espèce de séries infinies. En un mot, l'infini apparaît déjà dans l'ensemble des grandeurs commensurables obtenues par la subdivision indéfinie d'une même grandeur, et dans l'ensemble des nombres rationnels qui mesurent ces grandeurs '. El ne dites pas que la divisibilité indéfinie d'une grandeur n'implique que le nombre indéfini de ses parties : car si une grandeur réelle est divisible par tout nombre fini, il faut qu'elle contienne un nombre infini de parties; et si ce nombre n'était pas absolument infini» la divisibilité ne serait même pas indéfinie. En effet, il faudrait que ce nombre (par hypothèse donné et fixe) fût divisible par tous les nombres entiers, ce qui est contradictoire : « la contradiction cesse » dès qu'on le considère comme infini.

10. En résumé, le nombre infini est nécessaire, non seulement pour mesurer la grandeur infinie par rapport à l'unité finie, mais encore pour dénombrer les parties en lesquelles on décompose une grandeur finie pour la mesurer par rapport à une autre grandeur finie : et cela, sans même avoir besoin de la supposer continue. On aperçoit ainsi l'analogie ou plutôt l'affinité du nombre infini avec les nombres fractionnaires : car leur origine commune se trouve dans la divisibilité essentielle des grandeurs. Ce n'est donc pas sans raison que M. Renouvier, avec sa logique inflexible, fait commencer aux fractions ce qu'il appelle « la viciation de l'idée de nombre » *; et en ce sens, toute la première Partie de cet Ouvrage est le commentaire et le développement de cette vue profonde 3. Du reste, elle est conforme aux théories rigoureuses des mathématiciens modernes, qui s'interdisent de diviser l'unité. Sans doute, « ces mots parties de l'unité n'ont pas de sens » * en Arithmétique, parce que l'unité numérique est indivisible; mais ils en ont un en Géométrie et en Analyse, où l'unité est une grandeur quelconque, divisible comme les autres à l'infini. [II, iv, 8.] Les finilisles sont donc parfaitement conséquents en repoussant, comme « vicieuses » et absurdes, toutes

1. L'un cl l'autre ensemble sont connexes, ce qui confirme la relation déjà signalée entre la connea-ité d'un système de grandeurs et leur divisibilité indéfinie [p. VJ7. nute 1].

2. La philosophie de la règle et du compas, § IX, ap. Année philosophique i89t, p. 29.

3. « On fait le nombre continu, pour qu'il s'adapte à la continuité idéale des grandeurs géométriques. • (Ibid., p. 30.)