J. Tànnery, cité p. S de cet Ouvrage

les formes du nombre généralisé. C'est qu'ils ont bien vu que le nombre infini est inséparable de « la prétendue généralisation de l'idée de nombre ' », et naît, comme les autres nombres, de « la lutte, d'ailleurs bien légitime, des mathématiques contre l'incommensurable » *, ou, plus simplement, du nombre contre la grandeur.

11. Mais, à son tour, la doctrine finitiste, poussée ainsi à ses extrêmes conséquences, est une confirmation de notre thèse : car elle montre que l'on ne peut plus admettre la généralisation du nombre dès qu'on rejette le nombre infini, et elle prouve par là que celui-ci a la même valeur et la même raison d'être que celle-là. Or, si Ton reconnaît l'une « légitime », de quel droit proscrit-on l'autre? Sans doute, tandis que les mathématiciens ne se font pas scrupule d'employer les nombres fractionnaires et irrationnels, ils semblent, en général, éviter la considération de l'infini. Mais il faut voir par quel artifice ils réussissent à se passer du nombre infini : c'est en lui substituant la suite infinie des nombres entiers, de même que l'on peut remplacer un nombre irrationnel par une suite infinie de nombres rationnels dont ce nombre est la limite ; or, de même qu'une suite infinie repose au fond sur l'idée du nombre exact qu'elle définit (ou plutôt de la grandeur précise dont elle est une approximation indéfinie) 3, de même l'indéfini numérique n'est qu'un substitut de l'infini véritable qu'il recouvre : de sorte qu'il est un moyen détourné d'introduire l'infini dans les raisonnements, tout en évitant de le faire figurer dans les formules. Les mathématiciens peuvent bien prétendre que l'indéfini suffit à tous leurs calculs; mais les nombres rationnels, eux aussi, suffisent à tous les besoins du calcul : car on n'emploie jamais la valeur exacte d'un nombre irrationnel, qui est incalculable; Gela n'empêche pas les savants les plus rigoureux d'admettre les nombres irrationnels dont ils ne manient, en fait, que des valeurs rationnelles approchées, parce que l'approximation même de ces valeurs suppose la valeur exacte dont ils ont l'idée. De même, rien n'empêche de concevoir le nombre infini, dont l'indéfini numérique n'est qu'une perpétuelle approximation : car je vous ai montré qu'au contraire l'indéfini suppose et pour ainsi dire enveloppe l'infini.

12. En somme, tout revient à savoir si l'on a le droit d'appli-