Voir lw P., II, iv

502 LIV. ni. — LA CRITIQUE DE L'INFINI

quer les nombres aux grandeurs, et en particulier l'unité numérique à l'unité de grandeur [II, îv, 8] ; car toutes les difficultés et toutes les contradictions apparentes viennent de là, de sorte que, loin de prouver votre loi du nombre, elles tendent bien plutôt à la ruiner, en rendant suspecte, sinon impossible, la mesure des grandeurs. Vous voilà de nouveau acculé au même dilemme : ou bien vous consentez à attribuer l'unité aux choses, et alors vous êtes obligé d'admettre la généralisation du nombre avec toutes ses conséquences et dans toute son extension ; ou bien vous vous y refusez, et alors vous vous enfermez dans l'Arithmétique pure, vous supprimez l'Analyse et la Physique mathématique, vous renoncez à la connaissance scientifique du monde, qui repose tout entière sur la mesure des grandeurs; mais vous êtes en même temps contraint de reconnaître que la nature ne se soumet pas à la loi du nombre, et d'avouer qu'il existe des collections innombrables et des grandeurs incommensurables '.

Ainsi le finitisme, pour avoir voulu que toute collection concrète soit dénombrable (par un nombre entier fini) et que toute grandeur réelle soit mesurable (par un nombre rationnel), aboutit au contraire à empêcher tout dénombrement et toute mesure, en défendant d'appliquer l'unité idéale et abstraite aux objets d'expérience. De même que tout à l'heure [h, 12, fin], pour ne pas admettre une pluralité infinie, vous avez dû vous interdire de compter un seul objet, de même, pour n'avoir pas voulu reconnaître la grandeur infinie, vous

1. Pour justifier cette assertion, nous citerons un passage de M. Rekolvier, auquel nous avons fait allusion dans la 1" Partie [p. 131, note 1] : « On dit que le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre incommensurable. Il faut dire : est incommensurable, n'est point un nombre, un rapport a la rigueur, enfin n'existe pas.... Le « nombre n », sous ce point de vue, n'est plus un nombre fixe (!), mesurant la longueur d'une circonférence qui a pour diamètre l'unité linéaire, mais bien un nombre indéterminé (?), symbole de la longueur du périmètre d'un certain polygone inscrit, dont l'apothème diffère du rayon do moins que d'une longueur assignée, si petite qu'on l'assigne. » (Critique philosophique, t. XI, p. 26 sqq.; cf. Principes de la Nature, ch. m, C [t. I, p. 60], et la Philosophie de la règle et du compas, §§ Vlll-X, ap. Année philosophique 1891% p. 26-37.) Nous avions donc raison de déclarer « cette thèse ruineuse pour le finitisme », puisque, tout en supprimant le nombre irrationnel et en le remplaçant par une suite indéfinie de valeurs approchées, l'auteur est forcé d'admettre une grandeur incommensurable qui serve de base et de but à cette approximation numérique indéfinie, tandis que la loi du nombre exclut l'existence de telles grandeurs. (On peut remarquer, d'ailleurs, que les valeurs approchées du nombre n seront elles-mêmes, en général, des nombres irrationnels, de sorte que la difficulté reparaît dans l'approximation même par laquelle on prétend éviter le nombre irrationnel rc.)

êtes obligé de renoncer à toute unité de grandeur, et par suite à toute mesure. C'est, au fond, la même difficulté qui apparaît, ou du moins la même question qui se pose à l'origine de la mesure comme à celle du dénombrement : il s'agit toujours de savoir dans quel sens et à quelles conditions il est permis de conférer l'unité aux données sensibles, et d'imposer à la nature cette forme de la raison. C'est ce que nous rechercherons dans le Livre suivant.