Cf. Husserl, Philosophie der Arithmelik, vol. I, ch. vm

m^me quelque unité intrinsèque et réelle. Bien qu'oa puisse, à la rigueur, embrasser dans un acte unique de l'esprit et considérer comme un n'importe quel ensemble de phénomènes arbitraire méat isolés dans l'intuition et artiliciellement réunis par un caprice de l'imagination, il n'en est pas moins vrai qu'un objet qui possède déjà une certaine unité organique ou physique, au moins par la continuité ou La contiguïté île ses parties, est plus propre qu'un autre à recevoir l'unité logique, et que nous sommes plus disposés à la lui accorder. En résumé, nous pouvons bien, théoriquement, attribuer par convention l'unité formelle à toute donnée du sens interne ou externe: mais, pratiquement, nous ne l'attribuons qu'à celles qui offrent déjà un certain caractère d'unité réelle.

D'autre part, il est évident qu'aucun objet sensible n'offre un caractère d'unité absolue : non seulement on ne peut trouver, dans les données soumises aux formes de l'intuition, l'espace et le temps. T unité métaphysique, c'est -à-d ire la simplicité véritable, mais on n'y trouve pa= de parfaite unité organique, c'est-à-dire un tout complexe jouissant à la fis d'une harmonie interne absolue et d'une complète indépendance à lézard du milieu : car un tel tout serait indissoluble. et nous ne connaissons aucun organisme immortel. D'ailleurs l'existence d'un tel tout est bien peu probable, car il constituerait un monde dan* le monde: si donc an tel ti.<ut existe, ce ne peut être que le frrand Tout que nous appelons l'Univers, et que Plato* considérait comme un organisme immortel, eommi le dieu visible et vivant !. Ainsi, entre le point mathématique, qui seul possède une simplicité absolue, mais qui est le néant physique, et l'Univers entier, qui peut-être p«s.-êie l'unité organique, et eu tout cas forme seul un ti'Ut parfait, la n.Uure ne nous offre aucune unité véritable, de sorte que t-vit^s 1rs unité* que n^us découvrons ou que nous découpons dans le champ de l'intuition sont le résultat de conventions t'.'uj'-ur-- gratuit';': en un-? certaine mesure. En somme, le monde sensible r. us -jtTre d~s images plust.-u moins imparfaites, soit de l'unité simple. *oit de l'unité -le «y- m position, et nous fournît ainsi l'occaii'-n d'appliquer la ca'.é^orie d'unité: mais cette application comporte toujours une part •l'arbitraire, et la raison dépasse et complète les données de l'intuition en leur prêtant l'unité véritable qu'elle seule possède et porte en soi.

3. Pour qu'on puisse dénombrer des objets quelconques, il ne suffît pas que chacun d'eux soit conçu comme une unité : il faut encore que toutes ces unités soient pensées comme équivalentes, c'est-à-dire au fond comme identiques. Cette seconde condition est moins apparente et semble moins nécessaire que la première; aussi a-t-elle été souvent contestée !. On arguë, en effet, de la possibilité de compter les objets les plus hétérogènes, qui semblent n'avoir rien de commun, et l'on croit que pour cela la première condition est suffisante. Mais on ne s'aperçoit pas que, si cette condition parait suffisante, c'est qu'on y a impliqué la seconde : si plusieurs objets forment un nombre, ce n'est pas seulement parce que chacun d'eux est pensé comme un : c'est encore parce qu'ils sont tous conçus comme identiques, au moins en tant qu unités [I, n, 9]. Il faut que l'on puisse prendre indifféremment un objet pour un autre, et les compter dans un ordre quelconque : c'est à cette condition que la collection donnée aura un nombre cardinal unique et déterminé [I, m, 13]; or pour cela il faut que toutes les unités dénombrées soient égales, ou plutôt identiques. « L'égalité des unités concrètes » n'est pas, comme l'ont cru Stuart Mill et M. Delboeuf, « l'hypothèse fondamentale de l'Arithmétique » *, car l'Arithmétique n'a affaire qu'aux unités abstraites, qui sont identiques par définition; mais c'est un postulat de l'application de l'Arithmétique à la Physique, attendu que les unités concrètes qui forment une collection doivent avoir les mêmes propriétés que les unités abstraites qui forment le nombre de cette collection, et en particulier pouvoir être permutées et interverties, si l'on veut que l'axiome de l'invariance du nombre, évident a priori pour le nombre abstrait, soit vérifié par le nombre concret qui représente la collection donnée [cf. II, i, 10, 12].

Ainsi l'égalité des unités est une condition du dénombrement de toute collection d'objets concrets. Sans doute, comme nous l'avons reconnu, il suffit à la rigueur que chaque objet soit conçu comme un pour que cette condition soit remplie; mais ce n'est là en quelque sorte qu'un pis-aller, un cas extrême et exceptionnel. Il en est de l'identité des objets à dénombrer comme de leur unité : théoriquement, on peut compter ensemble les objets les plus divers, en concevant simplement chacun d'eux comme « un objet », par là

1. Cf. Husserl, Philosophie der Arilhmelik, ch. vin. -2. Husserl, op. cit., p. 165.

même équivalent aux autres; mais pratiquement, on n'a intérêt à dénombrer que des objets qui ont entre eux quelque ressemblance, et qui par suite sont identiques sous un certain rapport. £n tout cas, on ne peut réunir plusieurs unités pour en former un nombre, que si ces unités sont conçues comme équivalentes ou comme « de même espèce », que si, par conséquent, les objets concrets qui les portent sont réduits par la pensée à ce qu'ils ont de commun et d'identique entre eux. C'est ainsi que des cartes à jouer, toutes différentes par les figures imprimées sur leur face, sont (ou doivent être) identiques par leur revers, de manière à être, autant que possible, indiscernables pour celui qui les distribue. Ce fait, que l'on compte et répartit les cartes en les regardant par le dos, c'est-à-dire par leur face semblable, est le symbole de tout dénombrement : l'on y fait abstraction des différences pour ne considérer que les ressemblances, c'est-à-dire les éléments identiques dans les divers objets dénombrés.

Cet exemple montre bien que l'identité des unités est la condition qui permet de les compter, et sans laquelle elles ne formeraient pas un nombre. Supposons qu'on nous donne le huit de cœur et le sept de pique. Pour celui qui les donne, ce sont deux cartes, absolument équivalentes aux autres. Pour celui qui les reçoit, au contraire, elles ont des valeurs bien différentes suivant les règles du jeu : elles peuvent recevoir toutes sortes de valeurs numériques, et par suite entrer dans toutes sortes de combinaisons additives. Si par exemple on peut ajouter les points de deux cartes de couleurs différentes, ces deux cartes feront ensemble quinze points; sinon on aura huit points rouges d'une part et sept points noirs de l'autre, qui pourront s'associer dans la partie à d'autres points de même couleur, sans que le joueur qui les possède songe un instant à réunir par la pensée les taches des deux cartes juxtaposées sous ses yeux et à former le nombre quinze; tandis que dans le premier cas, malgré leurs diversités de forme et de couleur, il ne voyait plus deux cartes, ni même huit taches rouges et sept taches noires, mais quinze points en tout. On le voit, ce qui permet d'associer des objets et d'en former une collection ayant un nombre, c'est qu'on les réduit par la pensée à des unités identiques; et l'exemple précédent montre bien qu'il s'agit moins d'une identité objective et réelle (laquelle n'existe peut-être jamais), que d'une identité idéale et fictive entre les objets nombres, qui résulte de ce qu'on les réunit

CU. I. -r- LE NOMBRE ET LE CONCEPT 511

par convention dans une classe unique ou sous un même concept. Ainsi ce qui rend les mêmes unités réelles tour à lour sociables et insociabies, ce n'est ni leur nature intrinsèque et leurs qualités, ni leurs relations extérieures et leur contiguïté dans l'espace ou dans le temps, mais uniquement le fait d'être subsumées sous un seul concept, et d'être conçues comme équivalentes en tant que supports de ce concept. Comme l'unité de chaque objet à dénombrer, l'identité de tous ces objets n'est jamais donnée en fait : elle est toujours une création plus ou moins originale, plus ou moins spontanée de l'esprit. Les conventions des joueurs de cartes offrent une image exacte de cette convention spéciale par laquelle l'esprit confère l'unité à tels ou tels objets et les regarde ensuite comme des unités identiques; ou plutôt elles en sont une conséquence et une manifestation. En effet, comment les joueurs pourraient-ils s'entendre pour attribuer la même valeur à tels points et pour additionner les points de telles cartes, si chacun d'eux ne convenait d'abord en soi-même de considérer ces cartes comme de même espèce, et ces points comme des unités équivalentes et par conséquent sociables?

4. Ainsi l'idée de nombre est le produit des mêmes opérations intellectuelles que le concept, à savoir l'abstraction et la généralisation. En effet, étant donnés plusieurs objets (naturels) de même espèce, on peut admettre qu'en général il n'y en a pas deux d'absolument identiques, si on les considère dans leur individualité totale et dans la complexité infinie de leurs attributs. Poser tous ces objets comme identiques, c'est donc nécessairement négliger certains de ces attributs pour n'envisager que ceux qui leur sont communs; c'est, comme on dit, faire abstraction de leurs différences pour ne garder dans la pensée que leur ressemblance. Or ces parties ou qualités communes à tous les objets du groupe, c'est ce qu'il y a d'identique et de général en eux. L'ensemble de ces attributs qui se retrouvent les mêmes dans tous les individus considérés constitue la compréhension de leur concept générique, dont la pluralité des objets constitue d'autre part Y extension. Ainsi l'identification idéale de tous ces objets, qui est nécessaire pour qu'on puisse les nombrer, donne lieu à la formation du concept général et abstrait qui a pour extension l'ensemble de ces objets, et pour compréhension l'ensemble de leurs caractères communs. Or ce qui constitue à proprement parler ce concept, c'est sa compréhension, tandis que son

extension n'est qu'un accident tout extérieur qui ne fait pas partie du concept lui-même; en revanche, ce qui importe dans le dénombrement, ce n'est pas la compréhension du concept, mais son extension. Cette extension est parfaitement déterminée quand on connaît le nombre cardinal des objets de la collection donnée. Ainsi le nombre entier représente, en définitive, l'extension du genre ou de l'espèce dont le concept représente la compréhension.

Le nombre entier n'est donc pas un concept, mais il naît du même procédé intellectuel que le concept : l'un et l'autre représentent les deux faces ou les deux moments de l'opération complexe qu'on appelle « abstraction et généralisation » ; ils en sont les résultats hétérogènes, mais corrélatifs. Nous venons de voir que le dénombrement suppose l'élaboration, au moins implicite, d'un concept; inversement, l'élaboration d'un concept détermine, au moins virtuellement, un nombre. En effet, si l'on réduit par abstraction un objet individuel à certaines parties ou à certaines propriétés, on le rend, en général, équivalent à d'autres objets contenant les mêmes parties ou possédant les mêmes propriétés, de sorte qu'en opérant la même abstraction sur ces autres objets on obtiendrait des résidus identiques, et par suite des unités sociables pouvant former un nombre entier. Comme, d'ailleurs, le nombre des objets qui dans la nature, à un moment donné, possèdent le même caractère générique est déterminé (ce qui ne veut pas dire : fini), à tout concept général et abstrait correspond un nombre qui mesure en quelque sorte son extension. On sait que l'extension d'un concept est généralement en raison inverse de sa compréhension !; il s'ensuit que le nombre qui correspond à un concept doit être, a priori, d'autant plus grand que le concept est plus abstrait et parlant plus général, et d'autant plus petit que le concept est plus compréhensif, c'est-à-dire plus riche en attributs. A la limite, pourrait-on dire, quand la compréhension du concept embrasse tous les attributs de l'objet individuel, le concept devient adéquat à l'objet, et son extension se réduit à cet objet unique, de sorte que le nombre corrélatif ne peut être que 1 (en admettant qu'il ne puisse exister deux individus identiques).