A cette théorie de la corrélation du nombre et du concept

1. Celte formule commode n'a pas pour nous le caractère d'une loi mathématique, attendu que si l'extension d'un concept est mesurée par un nombre entier. la compréhension de ce concept ne nous parait pas susceptible de mesure.

on peut faire deux objections. La première, c'est qu'en fait on n'élabore pas un concept toutes les fois que l'on dénombre une collection; la seconde, c'est que l'on peut dénombrer des objets absolument hétérogènes, qui n'ont rien de commun, et par suite ne peuvent rentrer sous aucun concept générique. A la première, nous répondrons que l'analyse précédente n'est pas une analyse psychologique, mais une analyse logique; ce n'est pas une description de ce qui se passe dans la conscience toutes les fois que l'on fait un dénombrement : d'ailleurs, qui peut se flatter de savoir exactement ce qui se passe dans sa conscience pendant une opération intellectuelle quelconque, pendant un raisonnement, par exemple? De plus, et en tout cas, une telle description, même exacte et complète, ne peut pas rendre compte de l'opération, par exemple de la liaison d'une conclusion aux prémisses, encore moins rendre raison de sa valeur logique, c'est-à-dire de la nécessité qui fait le nerf de la déduction et qui enchaîne nos idées sans que le plus souvent nous sachions pourquoi ni comment. Gomme nous l'avons déjà dit [Préface], l'introspection est tout à fait insuffisante ou plutôt impuissante à découvrir les ressorts cachés de l'intelligence et à en expliquer les démarches.

Nous accorderons donc volontiers qu'en fait on n'a pas conscience d'élaborer un concept chaque fois que l'on compte des objets ; néanmoins, il faut bien que l'on ait quelque notion des objets que l'on compte, sans quoi le nombre obtenu ne signifierait rien. C'est ce qui apparaît dans le jugement par lequel on formule le résultat du dénombrement : on est bien obligé d'accoler au nombre trouvé le nom de l'espèce des objets dénombrés. Quand on dit : « Il y a vingt pommes dans ce panier », on peut porter l'attention plus particulièrement sur le nombre vingt que sur l'espèce « pomme »; toujours est-il que l'on a dû concevoir les objets à dénombrer comme des pommes, et chacun d'eux comme une pomme, pour en trouver le nombre ; il est clair que ce n'est pas pour le plaisir de former le nombre abstrait vingt qu'on les a comptés, mais que c'est pour arriver à la connaissance du nombre concret « vingt pommes ». Le genre des objets dénombrés a donc autant d'intérêt que leur nombre, ou plutôt leur nombre n'a d'intérêt qu'autant qu'il correspond à un genre déterminé.

On pourrait objecter, sans doute, que le nombre vingt ne mesure nullement l'extension du genre « pomme », de sorte qu'il n'y a

aucune corrélation entre ce nombre et le concept des unités concrètes qui le composent. — Cela est vrai ; mais aussi n'est-ce pas au concept général et générique de « pomme » que ce nombre correspond, ni à des pommes quelconques qu'il s'applique : c'est seulement aux « pommes contenues dans ce panier », et c'est de ce concept particulier et restreint qu'il mesure l'extension. Au lieu de dire : « 11 y a dans ce panier vingt pommes », il serait plus exact de dire : « Les pommes de ce panier sont au nombre de vingt '. »

Il n'en est pas moins vrai que, dans le processus intellectuel, unique en principe, qui engendre à la fois le nombre et le concept, l'attention peut se porter de préférence, suivant les cas, sur un seul de ces deux résultats, de sorte que l'autre passe inaperçu ou même ne se réalise pas du tout. Cela dépend de l'intérêt psychologique qui s'attache, soit à la compréhension, soit à l'extension du genre d'objets que l'on considère. Telle collection d'objets intéressera surtout par les propriétés intrinsèques et les caractères distinctifs de ses éléments (leur qualité); telle autre intéressera plutôt par leur pluralité ou leur multitude (leur quotité). On peut même faire, à ce sujet, une remarque psychologique qui vient confirmer notre analyse. Quelles sont, en général, les collections d'objets que l'on est tenté de dénombrer, celles dont le nombre surtout intéresse? Ce sont celles dont les éléments sont le plus semblables et le plus homogènes; et cela est aisé à comprendre. L'esprit est plus frappé de la répétition des caractères communs que de la diversité des caractères propres; il est donc porté à négliger les différences individuelles, et à ne voir dans la collection considérée qu'une pluralité d'unités identiques, c'est-à-dire un nombre concret. En outre, plus ces objets sont semblables, plus leur concept générique est compréhensif, et par suite adéquat à chacun d'eux; il en résulte qu'on peut prendre et donner de cette collection une connaissance suffisante et approximative en énonçant le nombre de ses éléments et leur genre, c'està-dire en formulant précisément ce qu'on appelle un nombre concret. Si au contraire les éléments de la collection présentent de grandes différences individuelles, et n'offrent que peu de caractères communs, on s'attachera moins à ceux-ci qu'à celles-là, et par suite on sera plus porté à les étudier chacun en particulier qu'à les réunir sous un même concept, qui serait trop pauvre et trop abs-

i. Cf. Husserl, Philosophie der Arithmetik, en. ix, notamment p. 188.

trait. Leur nombre n'en existera pas moins, ainsi que le genre commun qui les embrasse tous; mais l'attention en est détournée par les différences spécifiques trop saillantes. L'énonciation de ce nombre et de ce concept, c'est-à-dire du nombre concret qui représente cette collection, n'en donnerait qu'une connaissance trop superficielle et trop vague, et c'est pourquoi Ton se dispense d'élaborer à la fois ce concept et le nombre correspondant.

6. Ces considérations nous amènent à répondre à la seconde objection; et s'il est vrai que l'exception confirme la règle, cette objection peut servir à confirmer notre thèse. Si l'on peut compter ensemble les objets les plus dissemblables, c'est encore en les faisant rentrer sous un genre commun; mais dans ce cas, le concept sous lequel on les subsume doit être extrêmement général et abstrait. Or le concept le plus général, qui embrasse tous les objets imaginables, est le concept même d' « objet » entendu au sens le plus large, et désignant tout ce qui peut être pensé '. Si donc tous les objets possibles sont nombrables, c'est en tant qu'ils rentrent sous le concept d' « objet ». Quelles que soient leurs différences, si divers que soient les genres auxquels ils appartiennent, on ne peut jamais dire qu'ils n'ont rien de commun, rien d'identique : car ils auront toujours ce caractère commun d'être pensés, et ils seront toujours identiques, en tant qu'objets de la pensée. Mais, qu'on le remarque bien, nous ne renions pas pour cela ce que nous avons soutenu précédemment [I, m, 9], à savoir que l'élément constitutif du nombre n'est pas le concept de « quelque chose » ou de « n'importe quoi », et que ce concept n'est nullement identique à l'idée d'unité. C'est ce concept qui permet, dans tous les cas, l'application de l'idée d'unité aux objets les plus divers; c'est à ce concept que l'idée d'unité vient s'ajouter pour former « un objet »; il lui sert de support ou d'appui, mais il ne peut pas la remplacer. Pour nous résumer en deux mots, c'est en tant qu' « objets » que des choses quelconques peuvent être conçues comme identiques, et par suite dénombrées ; mais c'est en tant qu' « unités » qu'elle? forment effectivement un nombre. Le nombre entier n'est pas : « objet -f- objet -4- objet.... » mais bien : « un objet -H un objet -+- un objet.... » c'est-à-dire simplement : « un -+- un -+- un.... » Nous reconnaissons d'ailleurs que, dans l'acte psychologique du

1. Ce concept est le même que celui que M. Husserl désigne par le mot « Etwas » (quelque chose) : Philosophie der Arithmetik, en. iv.

dénombrement, le concept générique des objets dénombrés n'est presque jamais présent, et qu'on se dispense de l'appliquer à chaque objet successivement; toutefois, il fatit bien que ce concept apparaisse, soit avant, soit après le dénombrement, pour composer, avec le nombre abstrait trouvé, le nombre concret qui représente la collection donnée. Souvent même, on ne prend pas la peine de chercher le genre prochain auquel appartiennent les objets à dénombrer, c'est-à-dire le concept le plus compréhensif sous lequel ils puissent tous rentrer, et Ton remonte tout de suite au genus gcncraiissimum d'objet, parce qu'on est sûr qu'il sera toujours et partout applicable. Comme tous les objets possibles sont contenus dans son extension, il suffit à tous les dénombrements qu'on peut avoir à faire, et il est naturel, dès lors, qu'il soit régulièrement employé, même dans les cas où les objets à dénombrer rentrent sous un concept moins général. Gela est conforme aux lois psychologiques de l'habitude et de la paresse mentale. Mais il convient d'ajouter que si tous les dénombrements s'effectuaient ainsi, et si leur résultat se réduisait à un nombre abstrait, ou à un nombre concret dénommé par le concept général d'objet, ils ne serviraient à rien et par suite n'auraient même pas lieu. Un dénombrement d'objets quelconques qui n'auraient, par hypothèse, de commun que l'attribut universel d'objet, n'aurait aucun intérêt scientifique, et conséquemment aucune raison d'être psychologique. On est bien avancé quand on a constaté que <( Raphaël, un théorème, un canon, font ensemble trois objets »! Pour qu'un dénombrement nous apprenne quelque chose, il importe que les objets dénombrés soient de même espèce, de sorte que leur collection forme, non un nombre abstrait, mais un nombre concret proprement dit. Et plus la compréhension du concept générique sous lequel on les classe est riche, c'est-à-dire plus les objets ont de ressemblance, plus le dénombrement est instructif : « douze chiens » dit plus à l'esprit que « douze quadrupèdes », et : « douze épagneuls » dit plus que « douze chiens ». En résumé, sans nier la possibilité théorique d'un dénombrement fondé sur le seul concept d' « objet » ou de « quelque chose », nous affirmons que les seuls dénombrements utiles ou intéressants sont ceux qui aboutissent à la formation d'un nombre concret, c'est-à-dire à l'élaboration simultanée d'un concept et d'un nombre; et cela suffit pour que de tels dénombrements soient, pratiquement, les plus fréquents, pour ne pas dire les seuls. Sans doute il n'y a pas de bornes aux fantai-

sies de l'esprit et aux caprices de l'imagination; mais c'est une loi psychologique qu'en fait l'esprit n'effectue un travail quelconque, que si ce travail lui offre quelque intérêt intellectuel ou répond à un besoin pratique. Or un dénombrement d' « objets en général » ne remplit aucune de ces deux conditions; il peut donc être considéré comme un miracle psychologique, ou tout au moins comme une exception. Nous avons montré d'ailleurs que même un tel dénombrement n'est possible qu'au moyen d'un concept; de sorte que dans tous les cas la détermination d'un nombre entier concret repose sur l'élaboration implicite d'un concept. Concluons donc que la construction du nombre cardinal et celle du concept sont deux opérations intellectuelles corrélatives, ou plutôt les deux faces d'une même opération intellectuelle s'exerçant sur les données sensibles. L'attention peut s'attacher plus spécialement à l'une ou à l'autre de ces faces, selon l'intérêt du moment : elles n'en sont pas moins essentiellement inséparables, comme l'endroit et l'envers d'une étoffe; et si ces deux produits de l'entendement peuvent être aperçus et pensés séparément, ils se trouvent encore le plus souvent réunis et intimement associés dans le nombre concret, qui est le résultat naturel et complet de l'abstraction et de la généralisation appliquées à une collection d'objets donnés '.

7. De l'analyse précédente ressort évidemment le caractère factice et artificiel de l'idée de nombre, ainsi que du concept. En premier lieu, cette idée suppose dans les objets dénombrés une unité absolue qui ne se trouve jamais dans les données de l'intuition, et que la raison prête toujours plus ou moins gratuitement aux choses sensibles. En second lieu, elle suppose entre ces mêmes objets une identité qui ne saurait jamais être parfaite, et qui n'existe qu'entre certaines propriétés abstraites et générales communes à ces divers objets : de sorte qu'en les identifiant les uns aux autres, en tant qu'unités, l'esprit néglige de parti pris leurs différences, pour ne retenir d'eux que ces propriétés communes, qui composent leur concept générique. Ainsi, d'une part, on est obligé d'enrichir les données sensibles de caractères rationnels qui ne leur appartiennent pas en principe et qu'elles ne méritent jamais complètement; d'autre

1. Tous les nombres cardinaux qu'on retire de ia considération des collections concrètes sont donc des nombres dénommés (au sens de Helmholtz), attendu que les objets qui forment ces collections doivent toujours être conçus comme égaux sous un certain rapport. (Zûhlen unit Messen, p. 35; cité I, n, 9.)

518 LtV. IV. — CONCLUSIONS

part, on est conduit à appauvrir et à mutiler la réalité par l'abstraction et la généralisation. Le nombre et le concept sont donc nécessairement inadéquats à cette réalité, qu'ils sont pourtant destinés à représenter : ils ne peuvent en donner qu'une expression grossière et approximative. Plus on serre la réalité de près, plus le concept s'enrichit et plus le nombre se restreint; et lorsque l'esprit a atteint l'individu réel et en a pris une connaissance adéquate, il n'y a plus ni nombre ni concept, il n'y a que Vidée de l'individu, idée concrète, particulière et unique comme son objet l.

8. Il y a plus : l'élaboration du nombre concret, c'est-à-dire du nombre cardinal d'une collection donnée, implique des conditions en apparence contradictoires : car pour dénombrer des objets donnés, il faut les considérer à la fois comme identiques et comme différents. Gomme identiques, en tant qu'unités équivalentes, pour qu'ils puissent former un nombre par leur réunion; et comme différents, car autrement, comment pourrait-on les distinguer les uns des autres et dire qu'ils sont plusieurs? On dira sans doute que des objets peuvent ne se distinguer que par leur situation différente dans l'espace ou dans le temps. Mais alors, ce ne sont plus, à proprement parler, des objets que Ton compte, mais des parties de l'espace ou du temps. En effet, des objets par hypothèse identiques, et distincts seulement par le lieu ou par l'époque, ne sont qu'un seul et même objet répété dans l'étendue et dans la durée; ce n'est donc pas à cet objet comme tel, mais à ses diverses positions dans l'espace et le temps, que le dénombrement s'applique. Nous verrons dans le Chapitre suivant comment le nombre peut s'appliquer aux parties homogènes de l'espace et du temps; pour le moment, nous avons affaire à des objets concrets, et par suite nous devons les supposer hétérogènes. D'ailleurs, il est probable que c'est toujours le cas en réalité, car on a pu poser en principe que deux objets réels ne peuvent différer de situation sans différer aussi de nature, de sorte que la distinction temporelle ou spatiale, qui n'est qu'une dénomination extrinsèque, accompagne et suppose toujours une distinction qualitative et intrinsèque (principe des indiscernables de Leibnitz *).

1. Le mot idée est pris ici dans le sens cartésien et spinoziste, et non dans le sens scolastique de • concept général et abstrait ».

2. Voir Nouveaux Essais, liv. II, chap. xxvu, § i; Monadologie, § 9; Correspondance entre Leibnitz et Ctarke, Quatrième écrit de Leibnilz, n° 4; Cinquième écrit, n°' 21-26; etc.

Cet axiome paraît extrêmement vraisemblable pour les objets de la nature : même dans ceux où la nature semble copier et répéter à l'infini un prototype idéal, dans les feuilles et dans les fleurs, par exemple, il est impossible d'en trouver deux absolument semblables. Les produits de l'industrie humaine semblent au contraire faire échec à ce principe, et l'homme est arrivé à fabriquer des objets vraiment indiscernables pour nos sens. Mais on peut toujours présumer que des objets en apparence identiques offrent des différences imperceptibles de forme ou de structure moléculaire, lors même qu'ils auraient été coulés au même moule ou frappés au même coin. Et quand il serait vrai que deux objets artificiels fussent réellement identiques jusque dans les derniers détails, ce serait bien le cas de dire que l'exception confirme la règle. En effet, quels sont les objets auxquels l'homme cherche à donner une forme et une apparence identiques? Ce sont justement ceux qui doivent servir d'unités dans les dénombrements, et qui n'ont qu'une valeur numérique : ce sont les jetons, les pièces de monnaie, les billets de banque, etc. Si l'on s'efforce de rendre ces objets aussi semblables, aussi indiscernables que possible, c'est pour réaliser, si faire se peut, l'identité idéale des unités abstraites dans les objets concrets qui leur serviront de symboles. Que Ton atteigne ou non l'identité parfaite dans la fabrication de ces objets, que leur similitude soit grossière ou exacte, partielle ou totale, toujours est-il qu'elle n'est que l'image et la copie du type absolu d'identité que la raison conçoit et auquel l'homme aspire à conformer ses ouvrages. S'il y a quelque part au monde deux objets réellement indiscernables, on peut parier que ce sont des produits de l'industrie humaine, et que leur identité a été expressément voulue, de sorte qu'elle trouve sa raison d'être dans l'identité idéale des unités du nombre. Mieux encore peut-être que la présence de figures géométriques régulières et simples (que l'on trouve dans les cristaux et dans les ruches d'abeilles), celle d'un rouleau d'écus ou d'un sac de jetons sur une terre inconnue et déserte serait un sûr indice de l'existence passée ou présente d'habitants humains, c'est-à-dire intelligents; car l'homme seul peut réaliser, dans la nature, l'identité parfaite dont il porte le modèle en son esprit. On peut, à ce propos, remarquer un contraste de tendances entre la nature et l'industrie humaine (nous ne disons pas l'art humain) : la nature ne se lasse pas de renouveler indéfiniment les formes et toutes les apparences sen-

sibles, lors même qu'elle semble obéir à une « idée directrice » et se conformer à un plan immuable; l'homme, au contraire, met tous ses soins à rendre aussi semblables que possible les produits de son travail. Tandis que la nature tend à varier sans cesse ses ouvrages, l'homme cherche à faire régner dans les siens l'uniformité et la monotonie. Le triomphe de la nature est de ne jamais se répéter; 1' homme semble mettre sa gloire à fabriquer des objets indiscernables. Nous ne savons si cette tendauce à l'uniformité est chez l'homme une marque de puissance ou de pauvreté, et ce n'est pas ici le lieu de le rechercher. Toujours est-il que la nature et l'industrie ont un idéal tout opposé : la perfection de l'une consiste dans l'originalité et la variété infinies; celle de l'autre consiste dans l'uniformité et la répétition. 11 va sans dire que l'idéal de l'art est lui aussi opposé à celui de l'industrie, et que le comble de l'art est d'imiter la richesse et la fécondité inépuisables de la nature.

9. Les considérations qui précèdent ne sont pas une digression : elles contribuent, croyons-nous, à éclairer et à confirmer notre théorie. C'est parce que la nature n'offre nulle part d'unités véritables et d'objets identiques, que l'homme est conduit à façonner des objets aussi semblables que possible pour servir de véhicule et de symbole à l'unité absolue qui n'existe que dans sa raison; et c'est pour cela que tous les objets qui offrent une identité apparente portent l'estampille de l'esprit humain, et pour ainsi dire sa marque de fabrique. Encore faut-il ajouter que, même dans ces objets construits tout exprès pour se prêter au dénombrement, on fait abstraction de la plupart de leurs qualités sensibles, par exemple de la couleur et de l'effigie des pièces de monnaie, pour ne considérer en eux que des unités abstraites. D'autre part, si leur identité n'est jamais parfaite, leur unité est toute artificielle et de pure convention : car une masse homogène de métal n'a aucune unité intrinsèque et réelle; elle n'est une que par la cohésion provisoire de ses parties et par la forme extérieure qui lui est imprimée. S'il en est ainsi, l'application du nombre à la nature n'est jamais entièrement légitime, puisqu'elle comporte encore une part d'arbitraire et de convention, même quand on l'applique aux objets les mieux faits pour la recevoir. Dans tous les cas, cette application repose sur deux postulats contraires, et implique une sorte d'antinomie : les objets que Ton dénombre doivent être conçus à la fois comme semblables et comme différents, et tout nombre se compose d'unités distinctes tout

ensemble et identiques. Sans doute, il n'y a là qu'une opposition de points de vue, et non une contradiction formelle : car ce n'est pas sous le même rapport que les objets sont conçus comme semblables et différents à la fois. Néanmoins, cette antinomie, aisée à comprendre et à résoudre dans l 'esprit, prouve que la détermination du nombre suppose une abstraction qui simplifie et fausse les données de l'intuition; et elle deviendrait une véritable contradiction, si Ton prétendait que le nombre existe tout formé dans la réalité. En effet, pour que les objets eussent par eux-mêmes un nombre, il faudrait qu'ils fussent réellement des unités absolues, à la fois identiques, en tant qu'unités sociables et indiscernables, et différentes, pour qu'elles puissent être plusieurs; une telle hypothèse est manifestement contradictoire, parce qu'elle transporte dans la réalité concrète et absolue un conflit de principes tout abstrait et relatif à nos facultés de connaître. Concluons donc que le nombre entier n'est jamais objectivement donné, mais toujours subjectivement construit par l'entendement en vertu de ses lois propres.

10. De cette conclusion il résulte qu'il est impossible d'imposer la loi du nombre à la réalité, attendu que le nombre est une forme purement subjective, qui ne peut avoir qu'une valeur relative et abstraite. Gomme le concept, le nombre n'est rien de plus qu'un moyen commode pour se retrouver dans la diversité infinie des choses sensibles. D'une part, l'entendement classe les objets d'expérience suivant leurs ressemblances, les range en diverses classes, dont chacune porte une rubrique qui est le concept; d'autre part, il compte les objets réunis dans chaque ciassfe sans s'inquiéter de leurs différences, et exprime leur pluralité par un nombre. Nombre et concept réunis représentent une collection d'objets dont on néglige l'individualité propre pour n'envisager que l'ensemble de leurs caractères communs, et la remplacent provisoirement dans l'esprit. Mais il serait absurde d'attribuer une valeur objective quelconque à ce procédé artificiel de l'imagination opérant sur les données sensibles : et c'est une erreur aussi manifeste de réaliser le nombre que de réaliser le concept. 11 est facile de trouver dans l'histoire de la Philosophie des systèmes fondés sur l'une ou l'autre de ces hypothèses, peut-être même sur toutes les deux : il suffit de citer les noms de Pytbagore et de Platon. Il est intéressant de remarquer, à ce sujet, que les deux doctrines semblent s'être fondues en une seule dans la dernière forme du platonisme. En tout cas, l'analogie,

UV. IV. — CONCLUSIONS

la parenté même de ces deux systèmes peut servir de confirmation et d'illustration historique à notre théorie de l'origine commune du nombre et du concept l. On raille volontiers, aujourd'hui, le réalisme de Platon, et Ton ne parle qu'avec dédain d'une métaphysique pour laquelle le concept général et abstrait était l'être absolu ; mais on ne songe pas que le réalisme de Pythagorb est tout aussi ridicule, et l'on répugne moins à concevoir l'être sous la forme du nombre, et à affirmer que le nombre est la loi de toute existence objective. Pourtant l'absurdité est la même, et les deux doctrines doivent subir le même sort. D'un côté comme de l'autre, on réalise des abstractions qui n'ont d'existence que dans l'esprit et de valeur que pour l'esprit; ce qui est tout au plus une forme subjective de l'entendement, on l'érigé en loi suprême de la réalité *.

i. Pour montrer que celle théorie n'est pas nouvelle, il suffira de citer Aristotb, Métaphysique, 1088 a 8 : « Aeî 8'ctUi to avro ti àndpxeiv niai xo pirpov* ofov et mitco; tb (i£?pov, îttctou;, xal tl âvftpwiroc, àvôpooirouç. El 8'av6pa>7roç xai tititot xcù 0e<$ç, Çwov iaw;, xai 6 âpt6(ib; ocCt&v eVrai Çôa », — et Spinoza, Lettre 50 :

• Qui, verbi gratia, sestertium et imperialem in manu tenet, de numéro binario non r.ogitabit, nisi hune sestertium et imperialem uno eodemque, nempe nuramorum vel monetarum, nomine vocare queat : nam tune, se duos nummos vel monetas habere, potest affirmare. •

2. Cf. Cournot, Essai sur les fondements de nos connaissances, ch. xiii, n* 199 : « C'est pour avoir méconnu cette loi de l'esprit humain » (la loi de continuité)

• que les philosophes, depuis Pythagore jusqu'à Kepler, ont vainement cherché l'explication des phénomènes cosmiques dans des idées d'harmonie mystérieusement rattachées à certaines propriétés des nombres, considérés en euxmêmes et indépendamment de l'application qu'on en peut faire à la mesure des grandeurs continues. »