CHAPITRE II

1. Nous allons maintenant examiner l'idée de grandeur et critiquer l'application du nombre aux grandeurs en général : nous avons exposé [Livre II] à quelles conditions cette application est possible. À première vue, l'emploi du nombre à la mesure des grandeurs paraît tout différent de l'emploi du nombre au dénombrement des collections : les unes sont homogènes et continues, les autres sont discrètes et hétérogènes; dans un cas le nombre répond à la question : Combien? et représente une quotité; dans l'autre, il répond à la question : Combien grand? et représente une quantité. Pourtant, si divers que soient ces deux sens ou ces deux rôles du nombre, ils se rattachent l'un à l'autre par une filiation naturelle; tant il est vrai que les distinctions les plus tranchées admettent des intermédiaires, et que l'on passe d'un extrême à l'autre par des transitions continues. Aussi faut-il se garder en général d'affirmer entre deux concepts, quels qu'ils soient, une opposition irréductible, et de négliger ce qui les réunit. Certes il n'y a rien de commun, en apparence, entre l'acte de compter des objets distincts et isolés et l'acte de comparer deux grandeurs continues. Néanmoins, on a vu [II, m, 6] que la seconde opération revient en somme à compter le nombre d'unités que contient chacune des grandeurs comparées : en effet, le rapport de deux grandeurs commensurables de même espèce n'est rien de plus que l'ensemble des deux nombres entiers qui expriment combien de fois chacune d'elles contient leur commune mesure. Ainsi la mesure d'une grandeur se ramène, en définitive, à un ou deux dénombrements. Nous pouvons à présent compléter cette réduction, en rattachant l'un à l'autre les deux sens du mot unité,

que nous avons définis dans leur opposition mutuelle [II, îv, 8]. Par là nous achèverons de faire ressortir l'analogie, ou plutôt l'identité de nature, entre le nombre-mesure et le nombre-collection.

2. Nous avons montré dans le Chapitre précédent que tout dénombrement suppose qu'on unifie chacun des objets donnés, et qu'on les identifie ensuite entre eux; et cette double opération mentale ne peut se faire qu'en simplifiant ces objets et en négligeant leurs caractères individuels, de sorte que l'unité et l'identité qu'on leur attribue sont toujours plus ou moins factices et arbitraires; en un mot, on n'obtient des unités identiques qu'en réduisant les objets concrets et particuliers à l'ensemble de caractères communs qui constitue leur concept générique. Or les diverses espèces de grandeurs que Ton découvre et que Ton étudie dans les objets physiques sont, elles aussi, le résultat de l'abstraction et de la généralisation : ce sont des propriétés abstraites des corps, que Ton reconnaît comme identiques sous la variété des qualités et des apparences sensibles (identiques de nature, s'entend, mais non pas identiques en grandeur); cette identité de nature, qui fait que deux grandeurs sont dites de marne espèce, nous la désignerons d'un seul mot : homogénéité. Ce ternie indique en même temps que toutes les grandeurs d'une même espèce sont semblables, c'est-à-dire possèdent exactement les mêmes propriétés, et ne diffèrent qu'en grandeur, ou comme on dit, du plus au moins [cf. II, i, Axiome IJ. C'est ce caractère qui les rend toutes comparables entre elles, et par suite mesurables. C'est, en particulier, le caractère essentiel de l'étendue et de la durée, qui sont les résidus ultimes de l'abstraction appliquée aux phénomènes sensibles. Nous ne voulons pas dire par là que la durée et l'étendue soient des concepts abstraits et généraux que l'entendement retire des objets d'expérience; mais que, lorsqu'on fait abstraction de toute donnée sensible, il ne reste dans la conscience que les deux formes pures de la sensibilité, l'espace et le temps, qui subsistent invinciblement et s'imposent à toute intuition empirique possible. L'étendue et la durée ne sont pas les seules grandeurs mesurables qu'étudie la science ; mais ce sont les types de toute grandeur, l'espace surtout, où nous projetons par l'imagination toutes nos idées de grandeur, même des grandeurs non étendues, telles que la masse.

3. L'application du nombre aux grandeurs homogènes se fait donc suivant les mêmes principes que son application aux pluralités hété-

rogènes ; car il ne faut pas oublier que, dans la nature, les grandeurs ne sont pas plus données que les nombres : il n'y a de donné, à proprement parler, que des objets sensibles, particuliers et concrets. Seulement, si Ton réduit deux de ces objets, par abstraction, à deux grandeurs de même espèce, on pourra se proposer de les mesurer Tune par l'autre. Pour cela, comme on sait, on prendra Tune d'elles pour unité de mesure et Ton décomposera l'autre en grandeurs égales à la première, c'est-à-dire à l'unité. Cela revient, en somme, à considérer la seconde comme une somme de grandeurs identiques à la première, en tant que grandeurs, ou encore à décomposer le second objet en objets égaux au premier : égaux, c'est-à-dire identiques sous le rapport abstrait de l'espèce de grandeur que l'on considère. On le voit, la méthode est la même que celle qui prépare et rend possible tout dénombrement : on commence par réduire les objets à dénombrer à des unités identiques; seulement, le concept qui sert ici de guide et pour ainsi dire d'étalon est celui d'une certaine grandeur abstraite mais déterminée, prise pour unité. Voici d'une part une règle en bois et d'autre part une pièce de drap roulée; qu'y a-t-il de commun entre ces deux objets? Rien, du moins pour les sens. Mais si l'on conçoit, par abstraction, que ces deux objets possèdent une qualité commune ', à savoir la longueur, par le fait même qu'on a l'idée de cette espèce de grandeur, on aura l'idée de l'égalité de deux grandeurs de cette espèce, c'est-à-dire de leur identité sous des formes et des apparences diverses; et l'on saura ce qu'il y a à faire pour constater cette égalité, et plus généralement pour comparer deux objets concrets au point de vue de la longueur. On déroulera donc la pièce de drap et on l'appliquera, suivant le procédé bien connu, sur la règle en bois qui représente l'unité de longueur, c'est-à-dire dont on a pris la longueur pour unité; on répétera sept fois cette opération, et Ton dira que la pièce a sept mètres. Qu'est-ce à dire? Cela signifie qu'on a découpé en imagination dans la continuité du tissu des parties égales en longueur au mètre, et que l'on a compté sept de ces parties dans la longueur totale. On a donc imaginé sept

4. Nous ne craignons pas de nous servir de ce mot qualité pour désigner une grandeur, car toutes les quantités sont des qualités des objets, au sens large du mot; ce qui n'empêche pas d'autre part d'opposer la quantité à la qualité, c'est-à-dire la qualité mesurable et extensive à la qualité sensible et intensive, qui n'est pas une grandeur [Cf. irc P., III, iv, 26].

526 LTV. IV. — CONCLUSIONS

objets (pièces de drap) identiques à un objet donné sous le rapport abstrait de la longueur, et par suite identiques entre eux sous le même rapport ; et Ton a trouvé que la pièce de drap donnée était la réunion ou la somme de ces sept objets. C'est donc bien, au fond, une collection qu'on a dénombrée en mesurant celte grandeur. On dira peut-être que cette collection est toute idéale et non réelle, comme lorsque l'on compte des objets séparés. Mais, d'abord, il n'est pas nécessaire que des objets soient séparés et matériellement isolés pour qu'on puisse les compter : on compte bien les chaînons d'une chaîne et les grains d'un chapelet. Il suffit donc que les objets soient idéalement séparables, c'est-à-dire qu'on puisse les distinguer et les isoler par la pensée. Et puis, si la pièce de drap n'est qu'une collection idéale de pièces de longueur égale à un mètre, il est facile de la transformer en une collection réelle : ce sera l'affaire de quelques coups de ciseau. On ne peut refuser à l'imagination le droit d'anticiper sur cette opération pratique, qui ne change rien à la grandeur mesurée, et d'isoler par avance les unités de mesure que l'on distingue dans l'étoffe et que l'on peut effectivement y découper.

4. Ainsi le nombre- mesure ne diffère pas essentiellement du nombre-collection : tous deux sont, en principe, des nombres cardinaux concrets, ce que Helmholtz appelle des nombres dénommés, la dénomination indiquant l'espèce d'unités qui composent ces nombres. De même que le nombre abstrait est constitué par l'idée d'unité abstraite répétée plusieurs fois, mais toujours identique à elle-même, le nombre dénommé, représentant soit une grandeur, soit une collection, est constitué par la réunion d'unités toutes identiques entre elles, et retirées par abstraction des objets concrets *. Il y a cependant une différence entre les deux significations du nombre concret. Quand on dit : « cinq bâtons », on pense la collection formée par ces objets séparés, ou tout au plus juxtaposés, et non la figure obtenue en les mettant bout à bout. Au contraire, quand on dit : « cinq mètres », on pense la longueur unique qui contient cinq fois le mètre, et non pas cinq objets ayant la longueur d'un mètre. Dans le premier cas, les cinq unités sont pensées individuellement, et simplement associées dans un même acte de

1. C'est pourquoi Aristote, dans le texte cité p. 522, note 1, emploie le mot l&érpov pour désigner l'unité concrète d'une collection, aussi bien que pour désigner l'unité de mesure d'une grandeur.

l'esprit où elles conservent leur indépendance relative et restent isolées; dans le second cas, les cinq unités sont conçues comme intimement liées, elles se soudent les unes aux autres pour ne former qu'une grandeur continue. Cette distinction est remarquable, et elle vaut la peine d'être signalée, car elle sert à caractériser la grandeur par opposition à la collection [cf. il, iv, 7].

Il est vrai qu'on peut encore ici trouver des cas intermédiaires où cette opposition s'affaiblit et s'efface, et où le contraste fait place à une simple diversité de nuances. Par exemple, quand on parle de « cinq francs », on peut entendre parla, soit cinq pièces de un franc, soit la valeur mesurée par cinq francs, qu'elle soit représentée par une pièce ou par plusieurs. La même somme d'argent peut donc, suivant les cas, être conçue comme une grandeur ou comme une collection. Lorsqu'un joueur dit : « J'ai perdu cinq louis », il considère le louis comme une unité de compte, comme un jeton avec lequel on joue; il pensera donc cette somme comme une collection. Mais lorsqu'un commerçant dit : « J'ai gagné cent francs », il considère le franc comme une unité de mesure, et par suite il pense la même somme comme une grandeur susceptible de division indéfinie et de variation continue ; il aurait pu tout aussi bien gagner 99 francs, ou 101 francs, et même 99 fr. 95 ou 100 fr. 05 *. On voit par cet exemple que ce qui distingue une grandeur d'une collection, ce n'est pas tant la nature des unités nombrées que leur divisibilité et leur continuité [cf. II, iv, 8],

5. Il convient toutefois de remarquer que cette divisibilité et cette continuité sont tout idéales et conventionnelles, comme l'unité et l'identité des objets dénombrés [2]. C'est ce qui explique, par exemple, qu'un nombre de pommes puisse être fractionnaire, tandis qu'un nombre de jetons (dans un jeu), de boules ou de numéros (dans un tirage au sort) ne peut être qu'entier ; et pourtant, les boules qu'on lire d'une urne sont, pratiquement, aussi divisibles que des pommes ; d'où vient cette différence imaginaire entre des objets si semblables en réalité? C'est que nous considérons les boules comme des unités de compte, et par suite comme indivisibles, tandis que nous considérons les pommes comme des grandeurs homogènes (aussi les pèse-t-on plutôt qu'on ne les compte). Bien plus : les mêmes pommes que nous partagerons plus tard pour les

1. Le prix d'un objet est toujours considéré comme une grandeur : c'est la mesure de sa valeur.

distribuer et les manger pourront nous servir de boules ou de jetons dans un jeu quelconque, et alors nous ne songerons pas h les diviser : de sorte que les mêmes objets seront conçus tour à tour comme grandeurs divisibles et comme unités indivisibles. Aussi, quand il faudra répartir deux pommes entre trois convives, ce n'est pas le nombre 2 que nous diviserons par 3 (ce qui n'aurait pas de sens), mais bien la grandeur constituée par l'ensemble des

deux pommes; et le résultat de la division n'est pas, à proprement

parler, le nombre x , mais la grandeur représentée par ce nombre,

ou plutôt par ce couple de nombres entiers '. Cette fraction n'est donc pas le quotient de deux par trois, ou le tiers de deux, mais le symbole du tiers de la grandeur mesurée par deux : elle iudique qu'il est le double du tiers de la grandeur prise pour unité *. C'est pourquoi la même fraction, qui serait une solution absurde et un symbole d'impossibilité dans un problème de jeu (si par exemple on demandait combien de jetons tel joueur a gagnés), sera la solution parfaitement légitime d'un problème où il s'agit de grandeurs à partager [lre P., III, î, 18]. Ces paradoxes tiennent, nous le savons déjà, au double sens de l'unité : l'unité numérique étant indivisible, et l'unité de mesure étant divisible comme toute autre grandeur de même espèce [II, iv, 8]. Un entendement pur, possédant l'idée d'unité, pourrait sans doute l'ajouter à elle-même pour former les nombres entiers; mais il ne penserait jamais à la diviser pour obtenir les fractions, ni à intercaler des intermédiaires entre les nombres entiers : car, dans le domaine du nombre abstrait, il n'y a pas de milieu possible entre deux et trois, par exemple. 'Ce qui a conduit à diviser l'unité, c'est l'application de cette idée pure à une grandeur divisible ; et ce qui a permis de concevoir des interiné-

1. « Que signifie une fraction? quel sens peut avoir la troisième partie de 2? la troisième partie de 2 mètres, d'accord; mais du nombre 2? » (J. Dklboeup, ap. Revue philosophique y t. XXXVI, p. 453.)

2. En d'autres termes, le tiers de la grandeur deux est égal aux deux tiers de la grandeur un. Ce théorème (qui doit et peut être démontré) prouve que ce n'est pas une tautologie que de dire et d'écrire [V* P., p. 95, note i] :

et que la formule :

ne signifie pas la même chose que la formule [2c P., p. 413, note 1] :

?/ïA = nB

diaires entre deux nombres entiers consécutifs (chose absurde au point de vue arithmétique), c'est l'existence de grandeurs intermédiaires entre les grandeurs mesurées par deux et par trois. Tout cela dépend, au fond, de la manière dont on conçoit l'unité fondamentale : comme unité de nombre, ou comme unité de grandeur.

6. En résumé, pour mesurer une grandeur, on confère d'abord V unité à une grandeur de même espèce, puis on partage la grandeur donnée en parties identiques à cette unité; et le nombre cardinal de ces unités (s'il existe) est la mesure de la grandeur donnée. En vertu de l'homogénéité de la grandeur, cette unification est absolument arbitraire, puisque rien ne distingue spécifiquement une grandeur plus petite d'une plus grande. En revanche, c'est en vertu de cette même homogénéité que l'on peut identifier les diverses unités qui composent la grandeur donnée, car elles sont indiscernables en tant que grandeurs abstraites, et ne diffèrent que par leur position. Mais il ne faut pas oublier que cette homogénéité, et l'identification des unités qui s'ensuit, suppose qu'on fait abstraction de toutes les qualités sensibles des objets concrets pour ne considérer en eux que l'espèce de grandeur que l'on compare et qu'on mesure. Dans une pièce d'étoffe, les mètres successivement délimités ne sont jamais identiques, de même, que sur une route, il n'y a pas deux kilomètres qui se ressemblent; ce qui est semblable et identique sous les diverses apparences sensibles, c'est la grandeur abstraite, le mètre ou le kilomètre. La mesure des grandeurs repose donc, comme le dénombrement des collections, sur un double travail de l'esprit : d'une part, sur l'abstraction et la généralisation que l'entendement opère sur les données de l'intuition ; d'autre part, sur l'application des catégories d'unité et d'identité que la raison fait aux objets préalablement simpliûés par l'entendement.

7. On peut remarquer, à ce propos, que l'unité et l'identité, toujours imparfaites et grossières, que présentent les objets de la nature, soit qu'on les compte, soit qu'on les mesure, sont pour ainsi dire en raison inverse l'une de l'autre. Ainsi qu'on vient de le dire, les grandeurs homogènes se prêtent parfaitement à l'identification de leurs parties égales : car, grâce à leur identité qualitative ou de nature, elles ne présentent que des différences quantitatives, de sorte qu'il suffit de les prendre égales en grandeur pour obtenir une identité absolue. En revanche, elles n'offrent aucune unité intrinsèque, ni même aucune prise à une division quelconque, de

530 UV. IV. — CONCLUSIONS

manière que l'application de la catégorie d'unité aux grandeurs n'a lieu que par une décision arbitraire de l'entendement pratiquant au sein de la continuité des coupures factices et en quelque aorte violentes. Si nous passons à l'autre extrême, nous voyons que des individus (au sens propre du mot) offrent une unité réelle, ou tout au moins une occasion favorable à l'application de l'unité; mais ils se prêtent fort mal à l'identification des unités, car plus l'individualité d'un être est marquée, plus il diffère des autres êtres et constitue une unité originale et numériquement insociable. Des êtres absolument individuels possèdent bien l'unité; mais en même temps ils sont absolument hétérogènes, et l'on ne peut les considérer comme des unités identiques ou même semblables. Chacun d'eux est non seulement un en soi, mais unique en son genre, et ne peut être confondu ni associé avec aucun autre, si du moins on le prend dans son essence complexe et totale '. Ainsi, dans ces deux cas extrêmes, le nombre semble, également inapplicable : dans l'un, parce que les unités naturelles font entièrement défaut dans un tout homogène ; dans l'autre, parce que les unités naturelles sont radicalement hétérogènes et par conséquent insociables : le seul nombre qui convienne à l'être individuel et concret est le nombre un.

Il est vrai que ce sont là deux cas-limites purement idéaux : dans la nature, on ne trouve ni homogénéité parfaite ni unité absolue, mais tous les objets physiques s'échelonnent entre ces deux types et présentent tous les degrés intermédiaires, les uns tendant plutôt vers l'unité idéale, les autres s'approchant davantage de l'homogénéité idéale. C'est ainsi que tous les corps matériels sont compris entre les deux types extrêmes que l'on étudie en Mécanique, le corps parfaitement mou et le corps parfaitement élastique : chacun de ces types est un idéal qui ne se trouve réalisé nulle part, et qui néanmoins sert à comprendre les lois des phénomènes réels. L'un et l'autre est une abstraction, une simplification de la réalité physique ; et pourtant il constitue un cas particulier tout aussi déterminé que les cas intermédiaires, qui seuls existent dans la nature. Les lois qui régissent ces deux cas extrêmes sont aussi précises, aussi exactes que celles qui peuvent régir les cas intermédiaires; mais elles sont plus simples, de sorte que les lois des cas

1. C'est pourquoi Leibmtz déclarait que les monades ne formaient pas un nombre, bien que leur multitude fût infinie, et échappait ainsi aux prétendues difficultés inhérentes au nombre infini.

intermédiaires sont des combinaisons ou des complications de celleslà. De même, entre l'homogénéité parfaite de la grandeur abstraite et l'unité absolue qui n'existe que dans la pensée, la nature offre tous les cas intermédiaires, résultant du mélange et de la dégradation de ces deux principes opposés.

8. Il est évident, tout d'abord, que la matière brute offre une homogénéité au moins apparente qui se rapproche beaucoup de rhomogénéité idéale que nous attribuons à l'espace. Dans une masse de métal ou d'argile, nous ne distinguons par les sens aucune diversité qualitative ; chaque partie est identique en nature au tout, et n'en diffère que par la quantité, c'est-à-dire par l'étendue. Une telle masse est donc bien homogène dans le sens que nous attachons à ce mot : toutes ses parties sont semblables entre elles et semblables au tout. Son homogénéité apparente est en quelque sorte limage et le symbole de l'homogénéité idéale que nous attribuons à l'espace : et en effet, dans une masse de matière brute et amorphe, les qualités sensibles étant réduites au minimum, les propriétés géométriques attirent surtout l'attention, et l'intérêt se porte sur la figure et sur l'étendue de la masse considérée; si l'on fait alors abstraction des dernières qualités sensibles de cet objet, il ne reste plus qu'une figure géométrique, à savoir la portion d'espace qu'il oceupe. D'ailleurs, toutes ses parties, étant indiscernables, ne se distinguent que par leur situation relative, et peuvent se remplacer mutuellement dans toutes les positions : que l'on refonde un lingot d'or, que l'on repétrisse une masse d'argile et qu'on les coule à nouveau dans le même moule, rien ne distinguera pour nos sens leur nouvel état de l'ancien, puisque nous n'avons aucun moyen de reconnaître les diverses parties dans les places diverses qu'elles occupent successivement. Enfin, deux lingots d'or ou deux masses d'argile, étant de même nature matérielle, ne se distinguent que par la grandeur et par la forme, ce qui est une raison de plus pour considérer surtout en eux leur forme et leur grandeur, et les réduire par la pejwée à leurs caractères géométriques. Toutes ces propriétés, qui résultent de l'homogénéité de la matière brute, rendent extrêmement facile l'identification idéale de divers objets de même matière et de même grandeur, tels que des pièces de monnaie formées de même métal et frappées au même coin.

Mais, d'un autre côté, dans une masse homogène, nous ne distinguons aucune partie réelle, intrinsèquement déterminée ; nous n'y

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trouvons d'autres divisions que celles que nous y pratiquons arbitrairement, comme dans un solide géométrique, et aucune inégalité de résistance ne nous avertit (comme le clivage dans les cristaux) que la matière ait quelque préférence ou prédisposition pour telle division plutôt que telle autre. En un mot, la matière amorphe nous apparaît comme indifférente, non seulement aux formes qu'on peut lui donner, mais encore aux divisions qu'il nous plait d'y pratiquer. Nous disions tout à l'heure qu'il est impossible de discerner et de reconnaître les diverses parties d'une masse d'argile qu'on repétrit ; on peut même dire qu'elle n'a pas, naturellement, de parties : elle n'a que les parties qu'un mode de division artificiel et extrinsèque lui impose. En ce sens encore, la matière homogène est vraiment l'image de la grandeur continue, qui est susceptible de toutes les divisions idéales; comme le solide géométrique qui en est la figure, une masse d'argile se prête à toutes les sections qu'on peut imaginer en elle. De tout cela il ressort que la matière brute n'offre aux sens aucune unité naturelle; elle ne possède que l'unité factice et conventionnelle qu'on veut bien lui attribuer. Aussi cette unité est-elle précaire et provisoire, et tient-elle à des caractères accidentels et extérieurs de l'objet : elle se reconnaît, par exemple, à la contiguïté et à la cohésion momentanée des parties, mais elle est à la merci d'une scission plus ou moins facile à opérer. Elle se reconnaît encore à la forme définie qu'on imprime à l'objet; mais elle est à la merci d'un repétrissage ou d'une refonte. En résumé, les unités que constitue la matière brute sont une création arbitraire de l'esprit, et si leur identification est une conséquence naturelle de l'homogénéité de la matière, cette même homogénéité enlève tout fondement objectif et toute valeur réelle il Yunification qui leur donne naissance. Concluons donc que la matière brute, n'offrant aucune prise à la catégorie d'unité, ne se prête pas au dénombrement et ne possède pas, par elle-même, les propriétés qui constituent le nombre .

9. La matière organisée se présente au contraire comme composée d'éléments dont l'unité croit avec la complexité : ce sont les cellules. Il est à peine besoin de faire remarquer que l'on ne peut jamais trouver dans la nature d'unités absolues ou métaphysiques, c'està-dire simples, mais seulement des unités organiques et par suite composées. L'unité de la cellule est donc une unité de composition. Les cellules composent à leur tour des organismes de plus en plus

complexes et différenciés, qui offrent tous les degrés d'unité, depuis ces organismes homogènes dont chaque moitié, quand on les coupe en deux, reforme un animal entier (les Hydres, par exemple), jusqu'aux organismes les plus compliqués du règne animal ou du règne végétal. On sait que dans cette échelle des êtres vivants la différenciation des cellules et des tissus croit avec l'organisation ; et que, d'autre part, la diversité des individus d'une même espèce croit avec la complication de leur type organique. Pour cette double raison, plus l'organisme a d'unité, plus il a d'hétérogénéité, c'est-à-dire moins ses parties sont semblables les unes aux autres et peuvent se remplacer, la division du travail physiologique étant complète et chaque organe étant affecté et approprié à une fonction spéciale; plus, d'autre part, il a d'individualité, c'est-à-dire possède de caractères particuliers qui le distinguent de tous ses congénères et en font un être à part, un composé unique, un exemplaire original du type spécifique. En effet, l'unité d'un organisme se mesure au degré de différenciation de ses parties et de leur subordination à l'ensemble : de sorte que, au rebours de ces êtres inférieurs dont chaque partie est semblable au tout et suffit à le reconstituer en entier, un organisme supérieur forme un tout dont on ne peut supprimer aucune partie sans le détruire ou tout au moins le mutiler, aucune autre partie ne pouvant la suppléer ! ; c'est en cela qu'il constitue un individu, au sens étymologique du mot, et par suite une unité naturelle. A ces êtres vivants, il convient donc d'appliquer la catégorie d'unité, et avec d'autant plus de vraisemblance que leur organisation est plus parfaite.

Mais, d'un autre côté, plus l'application de l'unité aux organismes devient légitime, moins il est permis de les identifier les uns aux autres et de les considérer comme des unités équivalentes et sociables, et cela, en vertu de leur diversité croissante et de leur individualité de plus en plus marquée. On peut parler d'une douzaine d'huilres, bien qu'il n'y en ait jamais deux pareilles; on peut encore compter les chiens d'une meute, bien qu'ils ne se vaillent sans doute pas tous par la vitesse ou par le flair. De même, on compte des hommes, au point de vue administratif et militaire; mais on sent ce qu'un tel dénombrement a de conventionnel, de superficiel et même de choquant au fond. Considérer des êtres vivants et pensants comme

1. On sait, par exemple, que les membres amputés des Mammifères ne se régénèrent pas comme ceux des Arthropodes, ou même de certains Reptiles.

autant d'unités équivalentes, réduire en quelque sorte l'individu à un numéro matricule, cela peut être commode dans la pratique; mais il est évident qu'on néglige ainsi tout ce qui fait la valeur propre de l'individu, tout ce qu'il serait intéressant de connaître dans chaque cas particulier. Ainsi reparaît toujours cette affinité du nombre et du concept, que nous avons établie précédemment : si l'on peut compter et numéroter des hommes, c'est en les faisant entrer dans des classes définies par des concepts abstraits et généraux; mais, de même que la continuité des phénomènes sociaux rompt sans cesse les cadres officiels et présente toutes les transitions entre deux catégories conventionnelles, de même elle échappe aux prises de la statistique et refuse de se laisser exprimer par des nombres. On sait combien sont artificielles les divisions administratives, judiciaires ou politiques; les dénombrements corrélatifs ne sont pas moins illusoires et fallacieux1. La raison sent bien que l'infinie complexité de la nature humaine ne se laisse pas réduire en formules et emprisonner dans des colonnes de chiffres, parce qu'il n'y a en réalité que des individus, dont chacun constitue une unité incomparable aux autres. C'est pourquoi la statistique est aussi impuissante à établir des lois sociales que des lois physiologiques : on ne connaît pas plus les causes d'un crime particulier quand on connaît le tant pour cent de criminels d'une certaine espèce dans un certain pays, que l'on ne sait pourquoi tel homme est mort de telle maladie lorsqu'on sait que l'on meurt neuf fois sur dix de cette maladie. En un mot, pour l'administrateur, le législateur et le chef militaire, il peut y avoir des types généraux et abstraits, et par suite des unités comparables et sociables ; pour le savant et pour le philosophe, qui ont tous deux pour objet la réalité particulière et concrète, il n'y a que des individus littéralement incomparables f.

1. Cf. Courxot, Essai sur les fondements de nos connaissances, en. xin, 196.

2. On sera peut-être étonné de voir que nous assignons pour objet à la science les faits particuliers et les êtres concrets, alors qu'il semble que les lois scientifiques ne régissent que des êtres abstraits et des faits généraux. Nous ne pouvons ici dissiper ce préjugé, issu de la conception scolastique de la science; l'axiome antique : « Il n'y a de science que du général » repose sur la définition de la science comme connaissance par concepts; la science moderne se définit au contraire comme connaissance des lois de la nature et explication des phénomènes particuliers par ces lois, de sorte qu'il faut dire désormais : « 11 y a science du particulier ». Cela tient justement au caractère mathématique de la science moderne, car l'idée de grandeur sur laquelle elle est fondée est à la fois abstraite et concrète, générale et particulière. L'uni ver-

10. En résumé, aucune espèce d'objets, dans la réalité, ne remplit les conditions nécessaires à une application valable du nombre, et n'offre une unité et une identité suffisantes pour qu'on puisse dire que ces objets ont p$r eux-mêmes et naturellement un nombre. Dans la matière inorganique, en apparence homogène, il n'y a pas de raison pour attribuer l'unité à telle partie plutôt qu'à telle autre, aucune partie n'étant simple et indivisible; dans la matière organisée, on trouve des groupements qui forment des touts individuels et offrent une unité de composition, mais on ne peut les identifier les uns aux autres sans méconnaître précisément les caractères originaux qui en font des individus. D'un côté, c'est l'unification qui mauque de base; de l'autre, c'est h l'identification que tout fondement fait défaut. Ainsi, du haut en bas de l'échelle des êtres de la nature, la même antinomie ou la même incompatibilité subsiste entre les conditions formelles de l'application du nombre : et cela est nécessaire et fatal, car cette application suppose toujours, au fond, que l'on considère divers objets à la fois comme semblables et comme différents.

Loin donc que la réalité obéisse d'elle-même à la loi du nombre, on ne peut la soumettre au nombre et à la mesure que par une convention toujours plus ou moins arbitraire qui la simplifie, la mutile et la fausse. Quels que soient les objets que l'on compte, il faut les considérer comme équivalents, c'est-à-dire comme identiques sous un certain rapport, et en même temps les distinguer les uns des autres, car comment pourrait-on les compter sans cela? Il faut donc les réduire par la pensée à des unités à la fois distinctes et identiques : or c'est là une pure fiction de l'entendement, que l'on ne saurait transporter sans erreur dans la réalité : car ce serait affirmer

sali té des lois mathématiques repose sur l'indétermination des formules algébriques, laquelle fait place à une détermination parfaite dès qu'on substitue aux lettres des valeurs particulières. Celte universalité se traduit notamment par le principe de Vinduction complète [cf. I, i, 4], qui. permet de conclure, comme on dit, de n à n -j- 1, et par suite d'étendre une formule (vraie pour n = i) à tous les nombres entiers (Poincaré, Sur la nature du raisonnement mathématique, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. II). Ainsi c'est l'infini qui est le nerf de la généralité propre aux lois mathématiques, comme l'a montré M. Poincaré {loc. cit., p. 380-331); et d'autre part, le fondement de l'induction mathématique est le principe de raison suffisante, ainsi que l'a fort bien vu M. Lhchalas {ibid., p. 115). Si l'on rapproche ces deux vues également ingénieuses et justes, on retrouve précisément la pensée profonde de Lbibïutz sur l'analogie de l'infini avec les vérités universelles, fondées comme lui sur « la même raison » [passage cité 111, n, il].

536 UV. IV. — CONCLUSIONS

que le même objet se trouve répété plusieurs fois dans le monde, tandis que la nature ne se répète jamais. Le dénombrement n'a donc pas de valeur objective, parce qu'il identifie arbitrairement des êtres divers et hétérogènes; la mesure n'a pas de valeur objective, parce qu'elle découpe arbitrairement des unités fictives au sein de la grandeur homogène et continue '. D'une part, on suppose en des objets distincts une identité qui n'existe pas; d'autre part, on suppose dans la grandeur homogène une unité qui n'existe pas. On somme les individus comme s'ils étaient identiques; on compte les parties du continu comme si elles étaient des individus. Ainsi cette double application du nombre à la réalité concrète est illégitime, à parler rigoureusement, dès qu'on cesse d'y voir un expédient commode, un artifice de l'entendement, et que Ton prétend par là saisir et étreindre la réalité, la faire tenir dans nos concepts et la résumer dans nos formules. C'est ce qui explique les contradictions apparentes auxquelles on aboutit lorsqu'on impose à la nature la loi du nombre et que l'on voit dans la mesure l'expression adéquate de la réalité.

1. On sait que Spinoza considère la grandeur infinie et continue comme indivisible, en tant que la raison la conçoit dans son intégrité; elle n'est divisible que pour l'imagination, qui engendre ainsi le nombre et la mesure (Lettre à Louis Meyer du 20 avril 1663 : XXIX- des Opp. posth., XII* de l'éd. Van Vloten et Land.)