CH. III. — L INFINI ET LE CONTINU

de la grandeur est intimement liée à d'autres caractères de cette idée, qui sont l'homogénéité et la continuité. On a vu [III, iv, 6] que de l'hypothèse d'une grandeur homogène résulte immédiatement, comme une conséquence logiquement nécessaire, le nombre infini des parties ou des éléments d'une telle grandeur. Le nombre infini ne se justifie donc pas seulement par l'existence (idéale) d'une grandeur infinie ; il peut encore s'introduire par la divisibilité à l'infini d'une grandeur homogène et continue. Or on peut se demander si l'idée d'une telle grandeur ne pourrait pas être tirée de l'expérience, et si l'imagination ne suffit pas à rendre compte de ces propriétés en apparence intuitives de la grandeur. L'infinité de la grandeur échappe sans aucun doute à toute intuition; mais en est-il de même de son homogénéité et de sa continuité? C'est ce qu'il convient à présent de rechercher.

Il semble, à première vue, que la continuité soit une propriété primitive de nos sensations, du moins de celles qui prennent une forme étendue, à savoir celles de la vue et du toucher; et que par suite elle soit une donnée des sens, tout au moins de ces deux sens particuliers. Mais cette hypothèse ne supporte pas l'examen. En effet, loin de pouvoir nous fournir l'intuition de la continuité, l'expérience sensible ne nous permet même pas de constater la divisibilité indéfinie des grandeurs, laquelle, on le sait, ne suffit pas à assurer leur continuité [III, iv, 7]. Si parfaits que soient nos instruments de mesure et nos procédés de division mécanique de la matière, nous ne pouvons jamais diviser pratiquement une grandeur donnée qu'en un nombre fini de parties, et si grand que soit ce nombre, rien ne nous garantit qu'il puisse croître indéfiniment, c'est-à-dire qu'on puisse prolonger sans fin la division effective de la grandeur, et qu'on n'arrive jamais à découvrir des éléments indivisibles. Si loin qu'on pousse cette décomposition, grâce au progrès de l'industrie humaine, on n'aboutira toujours qu'à une subdivision limitée de la matière, et l'on ne pourra jamais affirmer que cette opération soit possible indéfiniment. Il sera donc toujours permis, sans être démenti par l'expérience, de soutenir soit la continuité, soit la discontinuité primordiale de la matière, et jamais les sens ne pourront décider cette question par une observation directe. Qu'estce à dire, sinon que la continuité de la grandeur échappe entièrement à l'intuition, et qu'elle n'est pas une propriété sensible des grandeurs concrètes, mais un caractère rationnel de l'idée de grandeur?

542 UV. IV. — CONCLUSIONS

5. On peut présenter le même argument sous une forme différente, et plus scientifique. Les nombres rationnels (en particulier, les nombres décimaux) suffisent à mesurer toutes les grandeurs physiques perceptibles avec une approximation indéfinie, c'est-à-dire aussi grande qu'on veut. Cette approximation est théoriquement indéfinie; mais on sait que, dans la pratique, elle est limitée par la finesse de nos sens et la précision de nos instruments : il arrive un moment, dans la subdivision progressive des grandeurs, où les marques distinctives se confondent et où les parties s'évanouissent. II est donc inutile de chercher de la grandeur qu'on mesure une expression numérique plus approchée que l'observation ne le comporte; on doit s'arrêtera Tordre de décimales qui représente la grandeur des plus petites parties perceptibles, car l'approximation qu'on obtiendrait en dépassant cet ordre serait absolument vaine et illusoire. C'est ce qu'on exprime couramment dans les sciences physiques en disant que l'approximation numérique d'une grandeur ne doit jamais dépasser la limite des erreurs d'expérience. Cela veut dire que, non seulement les nombres rationnels fournissent d'une grandeur quelconque une représentation aussi exacte qu'on le peut désirer, mais qu'ils peuvent même en fournir une représentation trop exacte, c'est-à-dire plus exacte que ne le permet l'indétermination inévitable dont toute mesure expérimentale est affectée. En un mot, les nombres rationnels se prêtent à une approximation illimitée, alors que l'expérience n'admet qu'une approximation limitée. Ainsi, non seulement les sciences expérimentales trouveront toujours dans l'ensemble des nombres rationnels de quoi exprimer le résultat de toutes les mesures, mais encore cet ensemble dépassera toujours infiniment en précision les moyens pratiques par lesquels on obtient ces mesures. On pourra même perfectionner indéfiniment ces moyens et faire tomber progressivement les erreurs d'expérience au-dessous de toute limite finie; on ne trouvera jamais les nombres rationnels en défaut, et l'on n'aura jamais besoin d'inventer d'autres nombres pour mesurer exactement toute grandeur empiriquement donnée.

Ainsi l'expérience, nous entendons par là non pas l'expérience vulgaire, mais l'expérience scientifique où les sens sont aidés et presque remplacés par des instruments d'une finesse et d'une précision inimaginables, ne parviendra jamais à vérifier la divisibilité indéfinie de la grandeur; elle ne pourra jamais constater qu'une

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divisibilité finie, au delà de laquelle on sera toujours libre de supposer, soit des éléments indivisibles et imperceptibles, soit la continuité absolue. Bien plus, en admettant même que l'expérience pût atteindre la grandeur dans sa divisibilité infinie, elle serait encore incapable de décider de sa continuité, et la question n'aurait pas avancé d'un pas vers une solution expérimentale. En effet, supposons (ce qui est impossible) que tous les nombres rationnels aient trouvé dans l'expérience leur application à une certaine grandeur donnée; il ne s'ensuivrait nullement que cette grandeur fût continue. On pourrait seulement en conclure qu'elle, serait connexe ', c'est-à-dire que les intervalles de ses éléments seraient infiniment petits; et il resterait à savoir si ces intervalles sont vides, ou comblés par d'autres éléments, ce qui dépasserait évidemment la portée de l'intuition, même avec le degré de finesse et de précision que nous lui accordons pour les besoins de la cause. En résumé, lors même qu'on attribuerait à nos moyens d'observation une exactitude parfaite (tel serait, par exemple, un microscope d'un grossissement infiniment grand), on n'aboutirait pas encore à la constatation intuitive de la continuité des grandeurs *.

6. De tout ce qui précède il ressort qu'on n'aurait jamais pensé à inventer le nombre irrationnel, si l'on n'avait eu à représenter que des grandeurs perçues, et si l'idée de grandeur elle-même était une notion empirique. L'ensemble des grandeurs commensurables d'une certaine espèce (représenté par l'ensemble des nombres rationnels) donnerait l'illusion complète de la continuité, non seulement à nos sens imparfaits et grossiers, mais à l'œil le plus perçant, doué d'une acuité infinie. Pour un observateur possédant des sens parfaits, la ligne droite, par exemple, serait uniquement et entièrement composée de points rationnels, et la diagonale du carré serait mesurée, par rapport à son côté, par un nombre décimal indéfini. Ainsi l'existence de grandeurs incommensurables (correspondant aux nombres irrationnels) prouve à la fois que la grandeur est continue, et qu'elle ne

1. Pour la distinction du connexe et du continu, voir lr* P., I, iv, 7; III, in, 4; 2* P., III, iv, 7 note; Note IV, 69.

2. De ce qu'aucune expérience ne pourra établir la continuité de l'espace, certains géomètres concluent que l'hypothèse de la discontinuité de l'espace réel est fort plausible, d'autant plus qu'elle n'exclut pas nécessairement la continuité du mouvement. (Dbdeiwd, Was sind und was sol/en die Zahlen, p. xii ; Cantor, ap. Mathematische Annalen, t. XX, 1882.) Resterait à savoir ce que ces mathématiciens entendent par « espace réel ». [Voir p. 544, note 4.]

peut être connue par l'expérience : car la notion des grandeurs incommensurables dépasse non seulement notre expérience présente, mais toute expérience possible, et ne peut être atteinte que par le raisonnement géométrique.

Les fînitistes nous objecteront peut-être ici leur distinction habituelle de l'idéal et du réel : ils diront qu'ils admettent bien les grandeurs incommensurables dans la Géométrie, science abstraite et idéale (« science de purs possibles », comme ils disent '), et qu'ils les rejettent seulement de la Physique, science du réel et du concret. De même, ils nous accorderont que l'espace idéal est continu, et par suite divisible à l'infini; mais ils nieront la divisibilité à l'infini et partant la continuité de l'espace réel 2. A quoi nous répondrons qu'il n'y a pas deux espaces, mais un seul : c'est dans le même espace que nous construisons nos figures idéales et que nous projetons les objets réels, c'est-à-dire le système de nos perceptions 3. Sans doute, la matière, objet propre de la Physique, peut être discontinue : mais, même pour concevoir l'ensemble des atomes qui constitueraient, par hypothèse, le monde physique, il faudrait le loger dans un espace essentiellement continu; la distinction réelle des points matériels suppose donc l'existence idéale, non seulement des points géométriques qu'ils occupent et réalisent, mais encore des intervalles vides qui séparent ces points. Il n'y a donc pas d'espace réel à cùté ou en dehors de l'espace idéal de la Géométrie; et ceux qui parlent d'espace réel confondent simplement la matière hétérogène et peut-être discontinue avec le milieu homogène et continu au sein duquel elle est située et dispersée \

D'ailleurs, pour trancher la question d'ordre critique qui nous occupe, nous n'avons pas besoin de rechercher si la réalité, physique est continue (question qui relève de la Philosophie des sciences},

1. DEHARiit-Ks leur a répondu par avance [passa;/* cité p. 493. note 4.]

2. Aussi, quoi que dise M. Pillon (Année philosophique J8$0, p. 97) du • rapport logique qui existe entre l'infinitismc et le réalisme -, il y a une connexion bien plus visible et plus certaine entre le réalisme et le finitisme : la doctrine de M. Evellix en est un exemple probant (Infini et quantité. Voir aussi : La divisibilité dans ht grandeur, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. II. p. 129.)

3. Cf. Critos, Troisième Dialogue philosophique, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. 111, p. ti8.

4. C'est ce (pie nous répondrions, d'une part, aux savants qui admettent la discontinuité possible de l'espace réel [voir p. 543, note 2]: d'autre part, a M. DKijucrF. qui soutient que l'espace réel n'est pas euclidien, c'est-à-dire homogène (Rente philosophique, t. XXXVI, p. 4i9.)

Cil. III. — L INFINI ET LE CONTINU 545

mais seulement si le continu peut être objet d'expérience. Il ne s'agit pas ici de savoir s'il existe dans le monde matériel des grandeurs incommensurables : il suffît que nous en ayons l'idée. Que cette idée ait ou n'ait pas d'objet, toujours est-il qu'elle existe dans l'esprit; or elle ne peut être issue de la perception sensible : donc elle est connue a priori. Par conséquent, en tant qu'elle implique la continuité et par suite l'incommensurabilité, l'idée de grandeur ellemême est connue a priori, et l'on ne peut en attribuer la connaissance qu'à la faculté que nous appelons la raison.

7. Cette conclusion est sujette à diverses objections que nous allons examiner. On peut d'abord, au point de vue empiriste, soutenir que si la continuité n'est pas par elle-même un phénomène sensible susceptible d'une constatation directe, elle est étroitement liée à l'homogénéité, qui, elle, paraît observable et vendable par l'expérience. En effet, il n'est pas besoin de diviser sans fin deux grandeurs données et de se perdre dans l'infiniment petit pour s'apercevoir qu'elles sont semblables, et par suite pour affirmer leur homogénéité. Leur similitude saute aux yeux, pour ainsi dire : or c'est de ce caractère intuitif de la grandeur que semblent découler tous les autres, de sorte que tous, en définitive, sont dérivés de l'expérience sensible.

A cette objection assez spécieuse on peut répondre, en premier lieu, que de l'homogénéité d'une grandeur ne résulte nullement sa continuité, mais tout au plus sa divisibilité à l'infini et ce qu'on peut appeler sa connexité : or nous avons soigneusement distingué ces diverses propriétés, et montré que la continuité ne peut se déduire de ces dernières; c'est même précisément ce qui fait le nerf de notre argumentation. De ce que deux grandeurs inégales sont semblables, il s'ensuit qu'elles sont susceptibles des mêmes divisions; donc si Ton considère une grandeur et l'une de ses divisions rationnelles, on sera obligé de conclure de leur homogénéité qu'elles sont toutes deux divisibles, et même idéalement divisées, à l'infini '. Mais l'ensemble des nombres rationnels suffira à représenter la division illimitée de l'une et de l'autre, et par conséquent on n'aura nullement atteint et établi par là la continuité de ces grandeurs, laquelle est liée à l'existence des états de grandeur irrationnels.

Toutefois, nous venons de reconnaître que si l'homogénéité d'une