En vertu de cette définition, on a
ce qui prouve que le couple (0,0) est le module de l'addition algébrique. Nous l'appellerons zéro algébrique, par analogie avec le zéro arithmétique défini précédemment, et nous le désignerons par le chiffre 0. L'addition algébrique vérifie ainsi la relation :
A-hOr A.
Tout couple dont les deux termes sont égaux est donc nul, d'après la remarque faite ci-dessus [2].
Définition. — On appelle couples symétriques deux couples formés des mêmes termes rangés en ordre inverse.
Théorème. — La somme de deux couples symétriques est zéro.
En effet :
5. Théorème. — Quand deux couples sont inégaux, il existe un couple non nul qui ajouté à l'un reproduit l'autre, et qu'on nomme leur différence.
Soient en effet les deux couples inégaux
(a, b) ^ (a\ //), ce qui veut dire
1. Démonstration analogue a celle du chap. i, § 2. ou encore a celle du § 6 de oe chapitre : il suffit d'y changer partout le signe > en — .
Je dis que leur différence est égale au couple
(a -+-*', b-ha').
En effet :
{a -f- b', b + a') -f- (a', b') =z (a, ft) -4- (4', a') + (a', 4').
Or, en vertu du théorème précédent et de la propriété associative de l'addition, on a :
ce qui prouve que :
(a -+- A\ ft + a') -4- (a', A') = (a, A).
On écrira donc la formule de la soustraction comme suit :
d'où la règle, qui s'énonce ainsi : Retrancher d'un couple un autre couple, c'est ajouter au premier le symétrique du second.
Remarque. — Quand deux couples sont égaux, leur différence, formée par la règle précédente, est nulle, car on a alors
fl + // — b -h a';
d'où :
Cela concorde avec la propriété que possède le couple (0,0) d'être le module de l'addition.
6. H nous reste à définir le sens de l'inégalité de deux couples. Nous savons que Ton a
(a, b) ^ (a', b') quand
a-hb'^b -h a.
Nous conviendrons d'écrire :
quand
et :
(a, b) ; (a\ //) quand
Cette convention est légitime, car elle satisfait les conditions
générales de toute inégalité. Les inégalités précédentes sont réversibles, c'est-à-dire que si Ton a
(a, b) ; («', //) on a aussi
De plus les inégalités
entraînent celle-ci :
A > C. En effet, les inégalités
équivalent à celles-ci :
Ajoutons-les membre à membre; il vient l'inégalité
ou
qui équivaut à :
7. Définition. — Le produit d'un couple (a, />) par un nombre entier n est la somme de n couples égaux à (a, b). En vertu de la règle de l'addition algébrique, ce produit est
(an, bn), et l'on écrit :
(a, b) X n = (aw, on).
Définition. — Le quotient d'un couple (a, b) par un nombre entier /* est un couple qui, multiplié par h, reproduit (a, b). Je dis que ce quotient est
En effet, si Ton multiplie ce couple par n en appliquant la règle précédente, on trouve
t'a b\ ta b \ / t\
en vertu des règles du calcul des fractions.
Cil. IL — TUÉORIE DES NOMBRES QUALIFIÉS 27
8. Multiplier un couple (a, b) par rentier c, et le diviser ensuite par
Tentier </, revient à multiplier ses deux termes par la fraction -7; en effet :
fe^,.(«,l.):^=(Ç.5)=(.xJ.«xJ).
On conviendra de dire dans ce cas qu'on a multiplié le couple (a, b) lui-même par la fraction -?, et d'écrire :
Ainsi la formule de multiplication
(a, i)x»~ («», éw)
est générale, et s'étend à tout nombre arithmétique «.
En particulier, diviser un couple par un entier w, c'est le multiplier par Tinversc de ce nombre; car on a, d'après la règle établie plus haut :
9. Définition de la multiplication algébrique. — On appelle produit de deux couples le couple composé de leurs termes conformément à la formule suivante :
(a, b) X {a', b') — (aa! -f- bb\ ab' -4- ba').
11 est aisé de vérifier que l'opération ainsi définie a les mêmes propriétés (commutalive, associative, etc.) que la multiplication arithmétique.
Remarque. — Le produit d'un couple par le couple (0,0) est ce même couple (0, 0), comme on le voit en faisant, dans la formule précédente, a' et b' nuls; ce résultat justifie et confirme l'assimilation du zéro algébrique au zéro arithmétique.
10. Nous avons tenu à exposer la théorie des couples dans toute sa généralité, pour en faire ressortir l'analogie avec la théorie des fractions. Nous allons maintenant démontrer un théorème que nous aurions pu établir aussitôt après la définition de l'égalité des couples, et qui nous permettra de simplifier leur expression.
Théorème. — On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux termes d'un couple sans changer sa valeur.
11 suffit de prouver que le couple (a H- n, b -4- n) est égal au couple (a, b). En effet, s'il est vrai que
(a, b) = (a H- w, A -f- n), on doit avoir :
ce qui est une identité.
On peut encore dire, en faisant appel à la définition de l'addition et à la propriété du zéro :
Réciproquement, si deux couples sont égaux, la différence de leurs termes correspondants est la même.
En effet, si
(a, b) - (a', //), on a :
Si
a = a , on a aussi :
le théorème est alors évident.
Si
a ^ a\ supposons
n' 7 a, c'est-à-dire
La condition d'égalité devient
d'où :
Ainsi :
a' a -, d = b' — b. C. Q. I\ IK
Si des deux termes d'un couple on retranche le plus petit, on annule ce plus petit terme ; c'est ce qu'on peut appeler réduire un couple à sn plus simple expression.
Soit un couple quelconque
Cil. II. — THÉORIE DES NOMBRES QUALIFIÉS 29
Si
on a
Si on a
on a, comme on sait,
Tout revient donc à considérer deux espèces de couples : ceux qui, réduits à leur plus simple expression, ont leur second terme nul : on les appellera nombres positifs; et ceux qui, réduits à leur plus simple expression, ont leur premier terme nul : on les appellera nombres négatifs. A ces deux groupes, il convient de joindre le couple (0,0) ou le zéro algébrique, qu'on appellera nombre neutre.
Les nombres positifs, les nombres négatifs et le nombre neutre constituent l'ensemble des nombres qualifiés.
Le terme non nul qui figure dans tout couple réduit à sa plus simple expression se nomme valeur absolue de ce couple; c'est un nombre arithmétique. La valeur absolue de (0, 0) est 0.
Pour simplifier récriture (puisque l'un des termes de chaque couple est réduit à zéro) on représentera un nombre positif par sa valeur absolue affectée de l'indice p ; un nombre négatif par sa valeur absolue affectée de l'indice n.
On appellera symétriques, conformément à la définition de ce mot, deux nombres de même valeur absolue et d'indices différents. En effet (a, 0) et (0, a) sont symétriques; donc ap et a„ le sont.
Le zéro algébrique peut s'écrire indifféremment 0P ou 0n; il est donc son propre symétrique. On l'écrit simplement 0.
Nous allons reprendre les définitions posées pour les couples en général, en les appliquant aux nombres qualifiés, c'est-à-dire en supposant les couples réduits à leur plus simple expression.
11. Définition de l'égalité. — Quatre cas peuvent se présenter.
On a
si
si
si
,1-hi'r-O,
si
Mais ces deux dernières égalités ne peuvent être vraies que si les valeurs absolues des deux nombres sont nulles, car la somme de deux nombres arithmétiques ne peut être nulle que s'ils sont nuls tous les deux. On peut énoncer ces résultats de la manière suivante :
Pour que deux nombres qualifiés soient égaux, il faut et il suffit qu'ils aient même indice et même valeur absolue, ou encore que tous deux soient nuls.
12. Définition de V addition. — On peut encore distinguer quatre cas, mais les deux derniers se confondent, à cause de la propriété commutative de r addition algébrique. On a les trois formules suivantes :
Les deux premières formules s'énoncent :
La somme de deux nombres de même indice est un nombre de même indice, dont la valeur absolue est la somme de leurs valeurs absolues.
La troisième formule donne lieu à un couple; réduisons-le à sa plus simple expression; il vient, suivant les cas,
si
si
d'où la règle suivante :
La .somme de deux nombres d'indice différent a pour valeur absolue la différence de leurs valeurs absolues, et prend l'indice de celui qui a la plus grande valeur absolue.
Enfin, nous savons déjà que la somme d'un nombre qualifié et de zéro est égale à ce nombre.
Quant à la règle de soustraction des couples, nous n'avons qu'un mot à y changer pour l'appliquer aux nombres qualifiés : Retrancher un nombre qualifié d'un autre, c'est ajouter à celui-ci le symétrique de celui-là.
La soustraction des nombres qualifiés se ramène donc, comme celle des couples, à l'addition algébrique.
Remarque. — Si deux nombres qualifiés sont égaux, leur différence est nulle.
13. Définition de V inégalité. — Appliquons successivement la
formule générale [6] aux différents cas que nous avons distingués
pour l'égalité.
On a
quand
donc : De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la
plus grande valeur absolue.
On a
(0, b) > (0, V) quand :
donc : De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.
On a
(<ï,0);- (0,*') quand
a -4- b! > 0, mais on n'a jamais
car l'inégalité de condition
ne peut être vérifiée par des nombres arithmétiques. La formule :
quand
a-hb 0
est vérifiée dès que les nombres a et b ne sont pas tous deux nuls. Si Ton suppose que ni a ni b ne sont nuls, on en conclut :
Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif. Si Ton suppose b nul, on en conclut :
Tout nombre positif est plus grand que zéro. Si l'on suppose a nul, on en conclut :
Tout nombre négatif est plus petit que zéro.
Il va sans dire qu'il ne s'agit pas du zéro arithmétique, mais du zéro algébrique, que nous appelons nombre neutre.
14. Remarque. — Si Ton rapproche la définition générale du sens de l'inégalité de celle des nombres positifs et négatifs, on est conduit
a-\- b' < b-ha
à énoncer la proposition que voici : Suivant que la différence de deux nombres qualifiés est positive ou négative, le premier est plus grand ou plus petit que le second.
En effet, la différence de deux couples («, b), (a\ //), étant
(a -+- b'} b -+- a'), est positive quand
c'est-à-dire quand
et négative quand
c'est-à-dire quand
Cette proposition peut servir à définir l'inégalité des nombres qualifiés, une fois qu'on a défini leur soustraction.
Les règles générales d'inégalité que nous avons énoncées plus haut permettent de ranger tous les nombres qualifiés par ordre de grandeur. On mettra par exemple les nombres positifs à droite de zéro, les nombres négatifs à gauche de zéro; les nombres positifs seront rangés par ordre de valeur absolue croissante, les nombres négatifs par ordre de valeur absolue décroissante. On formera ainsi deux suites symétriques (au sens géométrique du mot) par rapport à zéro :
» "m *»i In» ", Jp, £p, Op,
Chaque suite se compose de tous les nombres arithmétiques affectés du même indice; elle est donc illimitée comme la suite des nombres arithmétiques. L'ensemble des nombres qualifiés est en quelque sorte double de l'ensemble des nombres arithmétiques, et forme une suite linéaire illimitée dans les deux sens.
15. Définition de la multiplication. — Nous avons toujours quatre cas à distinguer :
(a, 0) X (a', 0) = (aa\ 0),
(0, b) X (0, b') = (bb\ 0),
(0, b) X (a', 0) = (0, ba').
Ces quatre formules se résument dans la règle suivante : Le produit de deux nombres qualifiés a pour valeur absolue le produit de leurs valeurs absolues; il est positif si les deux facteurs
ont le même indice, négatif s'ils ont des indices différents. On sait que si l'un des facteurs est zéro, le produit est toujours zéro.
Corollaire. — Le carré de tout nombre qualifié est un nombre positif. En effet, c'est un produit de deux facteurs qui ont le même indice.
Par suite, un nombre négatif n'est jamais un carré parfait.
16. Remarque. — Si l'on rapproche les deux formules où le multiplicateur est positif :
KO) X (a',0) =: (aa\ 0), (0, b) X (*', 0) = (0, 6a').
on voit que multiplier un nombre qualifié par un nombre positif équivaut à le multiplier par la valeur absolue de ce nombre. En général, on a :
(a, b) X (n, 0) = (an, bn) = (a, b) X n.
Ainsi un nombre positif joue comme facteur le même rôle qu'un nombre arithmétique. En particulier, on a :
ce qui montre que le nombre positif (1, 0) ou ip est le module de la multiplication algébrique, comme le nombre 1 est le module de la multiplication arithmétique.
On est ainsi amené à identifier, dans la multiplication, les nombres positifs aux nombres arithmétiques qui constituent leurs valeurs absolues; et cette identification est légitime, puisque la multiplication des nombres positifs coïncide avec la multiplication des nombres arithmétiques.
En particulier, le facteur lp sera identifié au nombre arithmétique i, et Ton pourra le supprimer dans tout produit où il figure. Or tout nombre positif est égal au produit de sa valeur absolue par 4P; on peut donc supprimer dans un produit tous les indices p, d'autant mieux que l'indice n suffit à distinguer les facteurs négatifs des facteurs positifs ou arithmétiques.
17. D'autre part, si l'on rapproche les formules où le multiplicateur est négatif :
(a, 0) X (0, b') = (0, ab')
on constate que multiplier un nombre qualifié par un nombre
négatif équivaut à le multiplier par la valeur absolue de ce nombre et à changer son indice. En particulier, on a :
ce qui montre que multiplier un nombre qualifié par (0, 1) ou in, c'est le changer en son symétrique. Ainsi tout nombre négatif est égal au produit de son symétrique par 1„, c'est-à-dire (puisque tout facteur positif est assimilé à sa valeur absolue) au produit de sa valeur absolue par ln. Il ne reste donc plus, dans un produit quelconque, qu'un seul facteur qualifié, à savoir ln. Or multiplier un nombre qualifié par \n ne change pas la valeur absolue de ce nombre, mais seulement son indice. On peut donc supprimer dans un produit le facteur in, à la condition de changer l'indice du produit. Mais comme changer deux fois l'indice revient à laisser le même indice, on n'aura pas à le changer quand on supprimera un nombre pair de facteurs 1„, mais seulement quand on en supprimera un nombre impair J.
En résumé, un produit de nombres qualifiés (en nombre quelconque) a pour valeur absolue le produit des valeurs absolues de tous ses facteurs; il est positif ou négatif suivant que le nombre de ses facteurs négatifs est pair ou impair. On peut donc y supprimer tous les indices p et un nombre pair d'indices n. S'il reste un indice n, on en affectera le produit arithmétique des valeurs absolues de tous les facteurs, et le produit algébrique sera négatif; s'il ne reste aucun indice, le produit sera positif.
18. Telle est la règle usuelle de la multiplication algébrique. Quant à la division algébrique, elle se définit sans difficulté comme l'opération inverse de la multiplication. L'addition algébrique donne lieu à une simplification analogue des formules, grâce à l'identification des nombres positifs aux nombres arithmétiques. Cette identification est légitime, car l'addition algébrique coïncide avec l'addition arithmétique quand on confond les nombres positifs avec leurs valeurs absolues, comme on le vérifierait sans peine. On peut donc, dans les formules de l'addition algébrique, supprimer l'indice p quand il n'y figure que des nombres positifs, et le sous-entendre dans tous les autres cas, un seul indice suffisant à distinguer les nombres négatifs des nombres positifs assimilés aux nombres arithmétiques.
i. D'ailleurs : U.irt = (0,1) x (0,1) = (1,0) = !,, = 1, ce qui montre qu'un couple de facteurs ln ne change pas le produit.
De plus, tous les nombres qualifiés peuvent se réduire à la somme ou à la différence de zéro et d'un nombre positif. En effet, on a, en vertu des formules générales d'addition et de soustraction,
(a, 0) - (0, 0) -h (a, 0), ou ap = 0 -4- ap;
(0, b) --- (0, 0) — (b, 0) ou bn -.= 0 — bp.
On voit que tous les nombres négatifs peuvent s'exprimer au moyen de zéro et des nombres positifs. L'indice p, étant seul, n'est plus nécessaire, et l'on peut le supprimer dans le second membre, ce qui revient à confondre (dans l'écriture) les nombres positifs et les nombres arithmétiques. On a les deux formules
flp-0 + «, bn — 0 — b.
Ainsi, de même que tout nombre qualifié est égal au produit de sa valeur absolue par ip ou ln, tout nombre qualifié est égal à zéro, plus ou moins sa valeur absolue *. Ces deux propositions n'ont de sens, d'ailleurs, que grâce à l'identification de chaque nombre positif à sa valeur absolue.
Gomme le premier terme du binôme qui représente un nombre qualifié est toujours zéro, on peut le sous-entendre sans inconvénient, et le supprimer pour abréger l'écriture. On a donc simplement
af -+- a, bn r — b,
ce qui est la notation usuelle des nombres qualifiés. Elle consiste à remplacer les indices p et n par les signes -h et — . Toutes les propriétés des nombres qualifiés que nous avons établies précédemment subsistent;. il suffit de remplacer dans les énoncés le mot indice par le mot signe.
Dans cette notation, les signes -4- et — sont incorporés aux symboles H- a, — 6, et font partie intégrante des nombres positifs et négatifs. Ce ne sont plus des signes opératifs, mais des signes qualificatifs.
19. On pourrait craindre que ce nouvel emploi des signes -h et — ne prêtât à une confusion avec leur usage courant comme signes d'opération. Mais il se trouve, ainsi que nous l'avons déjà remarqué, que la soustraction algébrique se ramène à l'addition algébrique,
1. Bien entendu, il s'agit ici du zéro algébrique ou nombre neutre.
de sorte qu'il n'y a plus besoin du signe — pour la soustraction. On va montrer que Ton peut se passer également du signe -h pour l'addition.
Soit en effet à effectuer la somme algébrique
ap -f- bn -f- cp -f- dn -+- ep.
Remplaçons chaque terme par le binôme équivalent, il vient :
O + a+O-4 + O + c + O-rf + O + e.
Or, comme zéro est le module de l'addition, on peut le supprimer partout, avec le signe d'addition -4- qui le précède ; il reste
H-a — b -\- c — rf+e,
c'est-à-dire la suite des nombres qualifiés à additionner, précédés chacun du signe qui lui convient. D'où la règle usuelle de l'addition algébrique :
Pour additionner des nombres qualifiés (en nombre quelconque) on les écrit les uns à la suite des autres. (Inutile d'ajouter : « avec leurs signes », puisqu'il est convenu que le signe d'un nombre qualifié en fait partie intégrante.)
Il est également superflu de dire qu'on peut écrire les termes dans un ordre quelconque, l'addition algébrique possédant la propriété commutalive.
Quant à la règle pratique de la soustraction, elle devient, avec la notation usuelle :
Pour retrancher un nombre qualifié d'une somme algébrique, on l'ajoute à cette somme en changeant son signe.
Ainsi toute addition ou soustraction algébrique donne lieu en fin de compte à une somme algébrique. On comprend dès lors qu'on n'ait plus besoin du signe -h pour indiquer cette unique opération. Pour effectuer une somme algébrique indiquée, on procède suivant les règles générales de l'addition des nombres qualifiés.
20. 11 est aisé maintenant de se rendre compte de la signification du couple dont nous nous sommes servi pour définir les nombres qualifiés, et d'où nous avons tiré, comme cas particuliers, les nombres positifs, négatifs et neutre. Il suffit de remarquer que tout couple (a, b) est la somme algébrique du nombre positif (a, 0) et du nombre négatif (0, b), somme qui s'écrit, dans la notation habituelle,
D'après la règle de simplification des couples, ce couple est égal, suivant les cas, à
-h (a — b) si a > b,
ou à
— (b — a) si a < b.
Le signe — qui figure dans la parenthèse indique une soustraction arithmétique, et la parenthèse elle-même représente le nombre arithmétique qui en est le résultat.
Remarque. — On retrouve ainsi la règle d'addition d'un nombre positif et d'un nombre négatif; il n'y a de changé que la notation.
On peut aussi considérer le couple (a, b) comme la différence algébrique des deux nombres positifs (a, 0), (b, 0).
Dans le cas où
(a, 0) > (b, 0) ou
cette différence se confond avec la différence arithmétique (a — b), grâce à l'identification des nombres positifs aux nombres arithmétiques. Mais si l'on assimile les nombres arithmétiques a, b aux nombres positifs (a, 0), (by 0), il en résultera que deux nombres arithmétiques, donnés dans un ordre quelconque, ont toujours une différence. Or c'est une proposition d'Arithmétique que la différence de deux nombres (rangés dans un ordre déterminé) n'existe qu'autant que le premier est plus grand que le second. Il n'y a là aucune contradiction, car le mot différence n'a pas le même sens dans les deux cas. En effet, si l'on peut dire que deux nombres arithmétiques ont toujours une différence, c'est en tant que nombres qualifiés, et cette différence est aussi, en général, un nombre qualifié. Seulement, dans le cas où les nombres arithmétiques, considérés comme tels, ont une différence arithmétique, les nombres positifs correspondants ont une différence positive qui coïncide avec cette différence arithmétique.
Gomme on le voit, la notion de couple constitue une extension de la notion de différence, de même que la notion de fraction constitue une extension de la notion de quotient. On généralise ainsi l'idée de différence, en supprimant la condition restrictive imposée à la différence arithmétique, et en définissant la différence algébrique de deux nombres quelconques, même dans les cas où leur différence arithmétique n'existe pas. Mais, à vrai dire, cette extension et cette
38 LIV. I. — GÉNÉRALISATION ARITHMÉTIQUE DU iNOMBRE
généralisation ne sont qu'apparentes : car on ne les obtient qu'en faisant rentrer la différence arithmétique, comme cas particulier, dans la différence algébrique, et les nombres arithmétiques dans l'ensemble des nombres qualifiés, en les assimilant aux nombres positifs. Or cette assimilation est illégitime, à la rigueur, car les nombres arithmétiques ne sont pas plus identiques aux nombres positifs que les opérations addilives définies pour les nombres arithmétiques ne sont identiques aux opérations de même nom définies pour les nombres qualifiés. Sans doute, la soustraction algébrique coïncide dans certains cas avec la soustraction arithmétique, et cela n'a rien d'étonnant, puisque, les éléments de chaque couple étant des nombres arithmétiques, la soustraction de deux couples revient en général à deux additions ou soustractions de nombres arithmétiques. Mais cette coïncidence apparente n'est que partielle, et n'autorise nullement à identifier deux opérations bien distinctes qui n'ont de commun que le nom. Il n'y a donc, en réalité, rien de changé aux propriétés des nombres arithmétiques et de leur soustraction.
