Voir Livre 111, Chap. h

Cil. IV. — LES ANTINOMIES DE KANT 573

certaines limites de toute intuition, d'aucune autre manière que par la synthèse de ses parties, et la totalité d'un tel quantum que par la synthèse achevée, ou par l'addition répétée de l'unité à elle-même (p. 454-456). »

11 convient d'abord d'écarter une réserve fallacieuse et illusoire contenue dans la première phrase. Pour en comprendre la portée, il faut se rappeler que, selon Kant, lorsqu'un tout est donné dans les limites de l'intuition, toutes ses parties sont données en même temps avec lui, mais que si un tout dépasse les limites de l'intuition, il ne peut être appréhendé que par la synthèse (successive) de ses parties, c'est-à-dire par la mesure (p. 454, note). Cette distinction, d'un caractère manifestement empiriste, nous parait dénuée de fondement : dans aucune science, on n'a jamais à distinguer les grandeurs qui tombent dans les bornes de l'intuition de celles qui n'y entrent pas; de même qu'en Arithmétique, on ne dislingue nulle part les nombres entiers dont on peut avoir l'intuition (c'est-à-dire une image concrète fournie par une collection d'objets ayant ce nombre), et ceux dont on ne peut avoir d'intuition immédiate *. De plus, quelles sont ces limites de l'intuition? Il ne faut pas oublier que les objets que nous percevons ou que nous imaginons n'ont pas de graudeur absolue, et que nous pouvons faire tenir, comme Pascal *, une longueur infinie dans un carreau de vitre (par perspective). Personne n'a jamais eu l'intuition de la distance de Paris à Pékin, aussi ne peut-on la connaître que par la synthèse de ses parties; en revanche, tout le monde peut voir la distance de Sirius à Àldébaran, et, si jamais on la connaît, ce ne sera assurément pas en faisant la synthèse de ses parties : et pourtant elle est incomparablement plus grande que la première. Cela prouve que la consi-« dération des •« limites de l'intuition » n'a pas de sens, et que la distinction entre les grandeurs dont la totalité est construite au moyen de leurs parties et celles dont les parties sont données dans leur totalité n'a aucune raison d'être 3. Si l'on va au fond de

1. M. Husserl semble attacher beaucoup trop d'importance à cette distinction, qui a peut-être un intérêt psychologique, mais qui n'a aucune valeur logique (Philosophie der Arithmetik, ch. xi et xn).

2. De l'Esprit y éomé trique, sect. I, fin. — Cet exemple fort élégant, destiné à prouver la réciprocité de l'infiniment grand et de l'infiniment petit, est analogue à la construction de notre figure 16 [1" P., IV, i, 6], qui peut lui servir d'illustration (ainsi que la fiyure 2$).

3. Relevons, à ce propos, une inconséquence commise par Kant dans la solution des antinomies mathématiques. Il pose en principe, dans la 8" section ,

574 UV. IV. — CONCLUSIONS

cette critique, on reconnaîtra aisément que la grandeur n'est jamais perçue, à proprement parler, mais qu'elle est pensée à l'occasion des perceptions : on ne voit pas une distance, par exemple; on la juge. [Cf. m, 10.] La grandeur n'est donc pas donnée par les sens, mais construite par la raison. Par suite, elle est absolument indépendante, en principe et dans son idée, des moyens pratiques employés pour la mesurer; et si grand que soit un quantum donné, nous pouvons toujours connaître sa grandeur dans sa totalité, que nous ayons ou non besoin de recourir à la synthèse de ses parties.

15. Pour revenir à la phrase citée plus haut, elle se décompose en trois propositions, qui toutes nous paraissent erronées.

1° D'une part, il est faux que Ton ne puisse penser une grandeur que par la synthèse de ses parties, car, au contraire, chaque grandeur est donnée d'abord dans sa totalité, et est antérieure à ses parties [cf. 111, m, 7]. D'ailleurs, cette synthèse des parties consiste dans la mesure; or toute mesure suppose la grandeur à mesurer préalablement donnée, et ne peut évidemment l'engendrer.

2° D'autre part (même en admettant la première proposition), il est faux que la synthèse des parties d'une grandeur doive être successive, car toutes les parties d'une grandeur étant données avec elle e( par elle, et n'existant qu'en elle, on sait d'avance qu'elle est égale à la somme de ses parties, quel qu'en soit le nombre, et sans qu'on ait besoin de les énumérer et de les sommer une à une. De plus, quand on soutient que la mesure est nécessairement successive, on confond les conditions idéales et rationnelles de la mesure avec ses conditions empiriques et pratiques ; on méconnaît les méthodes scientifiques de mesure, qui ne consistent nullement dans la synthèse

que, si un tout est donné dans l'intuition, la série régressive de ses conditions (parties) est infini (régressais in infinitum); tandis que, si le tout n'est donné que par un de ses éléments, et dans la régression empirique qui pari de cet élément, la série de ses conditions est seulement indéfinie (regressus in indefiniium) (p. 541 ; cf. p. 454, note). Cela posé, il résout la première antinomie en disant que. la totalité du monde n'étant donnée que dans la synthèse empirique et successive de ses parties, la régression est simplement indéfinie. Dans la seconde antinomie, au contraire, le tout est donné dans l'intuition avec toutes ses parties, et alors la régression devrait être infinie, d'après Kant lui-même (p. 551) : • 11 faut dire de la division d'une matière donnée entre ses limites (d'un corps), qu'elle va à l'infini (p. 541). • Il aurait donc dû, conformément à ses principes, résoudre la seconde antinomie en faveur de l'antithèse, c'est-à-dire dans le sens de l'infini actuel, et non pas de l'indéfini (p. 552). D'ailleurs, la distinction du potentiel cl de l'actuel, sur laquelle est fondée sa solution, est subtile et vaine : car c'est une erreur mathématique de croire qu'une grandeur divisible à Vinfini est continue (quantum confinuum), et qu'une grandeur divisa à Pinfini serait discontinue (quantum discretum) (p. 554-555).

successive des parties, et Ton réduit toute mesure aux procédés vulgaires et grossiers de l'arpentage [cf. III, ni, 8]. En oulrc, lors même que la synthèse des parties d'une grandeur serait successive, rien n'autorise à affirmer qu'elle prendrait un temps infini, et que par suite elle ne pourrait jamais être achevée : car c'est lui imposer gratuitement une condition surérogatoire que de lui assigner une durée déterminée, et de fixer la loi de succession temporelle des termes de la série à sommer [III, h, 4]. Cette dernière remarque suffirait, à langueur, pour ruiner la démonstration de toutes les thèses. En effet, sir Kant a argué en leur faveur de l'impossibilité de l'infini réalisé, c'est que pour lui l'infinité d'une grandeur consiste justement en ce que « la synthèse successive de l'unité dans la mesure d'un quantum ne peut jamais être achevée (p. 460) ».

3° Enfin, exiger qu'une grandeur soit engendrée « par l'addition répétée de l'unité à elle-même », c'est postuler la discontinuité des grandeurs, et méconnaître absolument leur nature [cf. II, m, t'itif.].

16. Nous découvrons ainsi la racine des antinomies dans l'idée incorrecte que Kant s'est faite de la grandeur, et dans l'identification illégitime des grandeurs aux nombres. C'est pourquoi il considère le temps comme composé d'instants, et le passé de l'univers comme composé d'états consécutifs; par là, il l'assimile à une suite d'éléments discrets. De même, il considère le monde physique comme composé d'unités naturelles ayant par elles-mêmes un nombre, et de plus, il exige que l'on puisse en dénombrer la totalité en un temps fini. Au fond, toutes ces hypothèses sont aussi absurdes que la loi du nombre, à laquelle elles reviennent en définitive. Il n'y a, en réalité, ni instants indivisibles dans le temps ni unités réelles dans l'étendue; l'espace est continu ainsi que le temps, et ne se compose pas d'un nombre déterminé d'éléments. Il n'y a donc même plus lieu de se demander si la synthèse successive prend un temps fini ou infini, si elle peut ou ne peut pas s'achever : il n'y a pas, à propreprement parler, de série à sommer, car, loin d'être constituée par l'addition (successive ou non) de ses parties, la grandeur continue n'a pas essentiellement de parties !.

En résumé, pour que l'argumentation de Kant contre la réalité de l'infini fût valable, il faudrait :

1° Que la grandeur n'existât et ne fût pensée que comme somme de ses parties;

I. Cf. Spinoza, Lettre à Louis Meyer, déjà ci fée [p. 536, noie 1J.

2° Que toute grandeur fût la somme d'un nombre déterminé d'unités égales ;

3° Que l'addition de ces unités fût nécessairement successive.

Mais tous ces postulats sont arbitraires, sinon faux. Bien plus, ils sont déjà faux si on les applique aux nombres. Supposons en effet, un instant, que les grandeurs soient réellement des nombres (2°), et par suite toutes commensurables, ce qui est absurde. 11 faudrait encore qu'un nombre ne fût rien de plus que la somme de ses unités constituantes (1°), et que l'addition de ces unités fût nécessairement successive (3°) : or ni Tune ni l'autre de ces assertions n'est légitime, car l'on sait que c'est un cercle vicieux de définir un nombre comme une somme d'unités, et d'engendrer un nombre par l'addition successive de l'unité à elle-même [I, m, il]. Par conséquent, les principes sur lesquels repose l'argumentation kantienne n'ont aucune valeur, même pour les nombres, à plus forte raison pour les grandeurs.

Ainsi le vice originel de l'Antithétique de la Raison pure se trouve dans la théorie du schématisme des concepts de l'entendement, et il provient, en dernière analyse, de ce que Kant a fait entrer le temps dans la génération de l'idée de nombre. Puis, le nombre étant le schème indispensable de la grandeur, la grandeur se trouve à tort assimilée au nombre; il en résulte que l'idée de grandeur ellemême implique la succession, de sorte qu'une grandeur inûnie, comme un nombre infini, ne peut être réalisée (donnée dans sa totalité) qu'au bout d'un temps infini, c'est-à-dire jamais. On voit comment toutes ces thèses erronées s'enchaînent et s'engendrent: la conception du temps comme schème universel des catégories se trouve être la source des antinomies. Si, au contraire, comme nous espérons l'avoir établi, le nombre et la grandeur existent et sont pensés indépendamment l'un de l'autre et indépendamment du temps, les antinomies manquent de tout fondement.

17. On entrevoit aisément que nous serions disposé à résoudre les antinomies dans un sens tout opposé à celui pour lequel les néo-criticistes ont opté. Ces philosophes n'ont pas admis que, dans chaque antinomie, la thèse et l'antithèse fussent également prouvées, également irréfutables, et ils refusent de leur attribuer la même valeur. Pour eux, les thèses (finitistes) sont simplement inconcevables, tandis que les antithèses (infinitistes) sont positivement contradictoires f.

i. M. Kenouvieb, ap. Critique philosophique, t. X.

Eu effet, celles-ci impliquent l'infini réalisé : elles sont donc absolument insoutenables; au contraire les thèses sont logiquement valables, et rigoureusement démontrées par l'impossibilité d'un infini actuel. Le néo-criticisme n'a donc pas cru devoir tenir la balance égale entre les deux systèmes, et garder la neutralité dont Kant lui avait donné l'exemple : il a adopté les thèses et rejeté les antithèses. C'est ainsi que des phénoménistes, qui semblaient avoir renoncé à toute Métaphysique et condamnaient sévèrement le dogmatisme classique, ont été entraînés à leur tour à édifier la Métaphysique la plus aventureuse et le dogmatisme le plus tranchant sur des affirmations transcendantes. Oubliant le principe même de la critique kantienne, à savoir que la Métaphysique repose essentiellement sur des jugements synthétiques a priori, ils ont cru que les vérités métaphysiques les plus sublimes étaient des propositions analytiques susceptibles de démonstration logique et formelle : l'atomisme, la création, le libre arbitre, tous ces « dogmes » sont devenus des théorèmes de Mathématiques, de « simples corollaires de la science des nombres ' ». Jamais, depuis les Eléates et les Sophistes, on n'avait fait un tel abus du principe de contradiction.

18. D'autres philosophes * ont cru pouvoir résoudre les antinomies dans le même sens, mais par des considérations un peu différentes. Us ont distingué, comme nous, les diverses facultés qui collaborent à la connaissance mathématique, et ont attribué respectivement les thèses et les antithèses à des facultés différentes, de sorte qu'elles ne sauraient avoir la même valeur logique. Les thèses seraient imposées par la raison, qui a pour objet le réel et le fini; les antithèses seraient une illusion de l'imagination, dont le domaine est l'irréel et l'indéfini. On en conclut naturellement que les antithèses n'ont aucune vérité, et que les thèses seules peuvent et doivent être affirmées de la réalité.

Nous ferions, nous aussi, une distinction analogue : seulement, ce sont les thèses que nous attribuerions à l'imagination, ou, si l'on aime mieux, à l'entendement, et nous réserverions les antithèses à la raison. En effet, l'indéfini de l'imagination est toujours une espèce de fini, de sorte qu'il ne saurait y avoir d'opposition véritable entre les assertions de l'entendement, qui exige le fini, et les intuitions de

1. L'abbé Moigno, ap. Cauchy, Sept leçons de physique générale : V appendice : Sur l'impossibilité du nombre actuellement inlini.