Ainsi se trouve établi le théorème suivant

Tout nombre complexe d'un ensemble à n unités capitales, possédant une multiplication commutative, associative et distributive avec module, est décomposable en r nombres complexes appartenant respectivement à r ensembles partiels à une ou à deux unités capitales, et tels que la somme, là différence, le produit et le quotient de deux nombres complexes de l'ensemble total sont des nombres de la même forme et s'obtiennent en faisant les sommes, les différences, les produits et les quotients de leurs

composants correspondants (c'est-à-dire appartenant au même ensemble partiel.) Les ensembles partiels à une unité capitale sont analogues à l'ensemble des nombres réels; les ensembles partiels à deux unités capitales sont analogues à l'ensemble des nombres complexes ordinaires.

Ainsi tout ensemble de nombres complexes à n unités capitales, soumis aux lois du calcul algébrique, équivaut à une association d'ensembles de nombres réels et de nombres imaginaires simplement juxtaposés; ou, comme dit M. Dedekind l : « Tout système de n unités capitales est un représentant collectif de n systèmes de nombres complexes ordinaires. » Un tel système ne constitue donc pas une généralisation véritable des nombres réels et imaginaires, mais une simple et stérile répétition de ces nombres.

16. Pour mieux montrer qu'on ne peut construire avec de tels nombres complexes une nouvelle Algèbre, plus générale que l'Algèbre ordinaire, citons encore quelques théorèmes obtenus par M. Weierstbass :

1° Une équation algébrique entre des nombres complexes de l'ensemble E (à n unités capitales) :

xm -h axm~l -+- bxm~* -+- ... -h kx + / = 0

équivaut aux r équations algébriques suivantes, entre leurs composants réels ou imaginaires :

xtm 4- a, a?!*1-1 -+- 6j x^-* -h ... -H *f *i -t- /| = 0 x2m -+■ ffi xtm~i -+- 6, ay*-2 -+-...-+- kt xt -h /j =r 0

Xrm -+- ar Xrm~l -H br Xrm~2 "H ... H- kr Xr -+- lr —- 0

où #!, #f, ... xr sont les composants de l'inconnue x.

2° Une équation algébrique entre des nombres de l'ensemble E ne peut avoir une infinité de racines que si tous ses coefficients (a, 6, ... k, l) contiennent en facteur un diviseur de zéro.

Si l'on fait : n •=. 2, on retrouve comme cas particulier cette proposition de l'Algèbre ordinaire :

Une équalion algébrique à coefficients réels ou imaginaires ne peut avoir une infinité de racines que si tous ses coefficients sont nuls (c'est-à-dire contiennent en facteur zéro).

3° Pour que toutes les racines d'une équation algébrique entre des nombres de l'ensemble E appartiennent à ce même ensemble, il faut et il suffit que tous les ensembles partiels En E„ ... Er soient à deux unités capitales;

on aura donc alors : r = g-. Dans ce cas, le nombre des racines d'une équation de degré m sera

Si l'on fait : j? ~ 2, on retrouve comme cas particulier le théorème fondamental de l'Algèbre :

Une équation algébrique à coefficients complexes, de degré m, a m racines complexes.