Mémoire cité

Cette proposition fait bien voir que l'ensemble des nombres complexes est nécessaire et suffisant pour donner à l'Algèbre toute son extension. Nous avons montré d'autre part que, si Ton essaie de créer de nouveaux nombres obéissant aux lois du calcul algébrique, cette nouvelle Algèbre est réductible à l'Algèbre ordinaire. Le nombre imaginaire est donc l'élément essentiel et universel de l'Algèbre * .

17. Bien entendu, cette conclusion ne vaut que si l'on tient à conserver, dans les nouveaux ensembles qu'on pourrait imaginer, les propriétés essentielles des opérations algébriques. Mais si, par exemple, on renonce à la propriété commutative de la multiplication, et qu'on supprime cette condition en maintenant toutes les autres, on obtient une Algèbre beaucoup plus générale, qui est complètement déterminée quand on se donne les produits des unités capitales deux à deux en fonction linéaire de ces mêmes unités capitales, par des relations de la forme :

cPCi = >., e, -H >2 Ci -H .... -h Xn cn

c Un exemple célèbre d'un système de ce genre, à quatre unités capitales, est fourni par les quaternions d'II,\MiLTON, où l'on a :

e, = 1, ea = t, c, = jf, ck = k,

avec les relations fondamentales :

y = — Ji = *, jk = — # = t,

ki = — ik = j . » »

On voit par ces trois dernières formules que la multiplication des quaternions ne possède pas la propriété commutative.

Mais ces quaternions ne paraissent pas avoir une utilité comparable à celle des nombres imaginaires. M. Dedekind, mettant en parallèle ces deux espèces de nombres complexes avec les nombres complexes à n unités capitales, définis plus haut (qu'il appelle surcomplexes), s'exprime à peu près en ces termes 3 :

« On ne peut donc considérer ces nombres surcomplexes comme des nombres vraiment nouveaux, au même titre que les nombres imaginaires, ou même que les quaternions d'Hamilton, qui, bien que leur usage semble confiné dans un domaine très étroit, offrent cependant, par rapport aux autres nombres, un caractère d'absolue nouveauté. »

Cette opinion du savant algébriste résume toute la présente Note, et peut lui servir de conclusion.