Mémoire cité

Nous avons défini la notion de limite relative à une suite simplement infinie de nombres discrets [lre P., I, iv, 17]. Mais cette notion a un sens plus général, et une portée beaucoup plus grande, qu'il importe de connaître pour se faire une juste idée de sa valeur et de son rôle dans l'Analyse. Pour cela, il faut auparavant définir l'idée de fonction dans toute sa généralité f.

1. Considérons un ensemble de nombres tous distincts, et regardons ces nombres comme des valeurs attribuées à une variable x : si à chacun de ces nombres on fait correspondre un nombre que Ton considère comme une valeur d'une autre variable y, on dira que la variable y est une fonction définie de la variable indépendante x pour chacune des valeurs appartenant à cet ensemble.

Une fonction n'étant pas autre chose qu'une correspondance établie entre les valeurs de deux variables x et y, on peut prendre l'une ou l'autre pour variable indépendante.

Si, étant donnée une fonction

on peut calculer la ou les valeurs de x qui correspondent à chaque valeur de y, on aura x en fonction de y, ce qui s'écrit :

x = F (y), et la fonction désignée par F sera dite fonction inverse de la fonction désignée par f.

Nous connaissons déjà un exemple de fonction : le terme général d'une suite un est une fonction de l'indice n. On voit qu'elle n'est définie que pour les valeurs entières et positives de la variable indépendante *.

Mais les fonctions que l'on étudie dans l'Analyse sont généralement définies pour toutes les valeurs réelles (et même imaginaires) de la variable, ou tout au moins dans un certain intervalle, fini ou infini, découpé dans l'ensemble des nombres réels.