J. Tannbry, op. cit., ch. m

2. Définitions. — On appelle intervalle de deux nombres réels a et b (a < 6), ou simplement intervalle (a, 6), l'ensemble des nombres réels compris entre a et 6. Ces deux nombres sont appelés bornes de l'intervalle. En général, un intervalle est censé contenir ses bornes : il est alors absolument continu] il comprend toutes les valeurs réelles de x qui vérifient les inégalités :

Si Tune des bornes, a par exemple, est exclue de l'intervalle, celui-ci sera défini par les inégalités :

et si les deux bornes en sont exclues, l'intervalle sera défini par les inégalités :

Dans ces deux derniers cas, l'intervalle est dit semi-continu *.

Un intervalle borné, comme il vient d'être dit, par deux nombres réels, est dit fini. On appelle infini un intervalle qui n'a qu'une borne, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels supérieurs ou inférieurs à un nombre réel, tel que ceux que définissent les inégalités simples :

3. Définition. — « Une fonction y de x est définie dans l'intervalle (a, 6), si à chaque valeur de x appartenant à cet intervalle correspond une valeur déterminée de y. »

Dans ce cas, on peut dire que la variable indépendante x est continue *, c'est-à-dire qu'elle peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle continu (a, 6) sans que la fonction y cesse d'exister. On peut alors la faire varier depuis a jusqu'à b de telle sorte qu'elle aille constamment en croissant, et qu'elle prenne une fois chacune des valeurs de l'intervalle (a, b) ; elle ne la prendra d'ailleurs qu'une seule fois. C'est ce qu'on entend par variation continue de la variable x dans l'intervalle (a, 6).

La fonction y = f (#), étant définie dans l'intervalle (a, 6), passera par une suite de valeurs déterminées quand x passera d'une manière continue de a en 6; mais il ne s'ensuit nullement que la fonction y variera, elle aussi, d'une manière continue.

4. Définition. — « On dit qu'une fonction f (x) est continue dans l'intervalle (rt, 6), si à chaque nombre positif e correspond un autre nombre positif r, tel que la différence des valeurs que prend la fonction pour deux valeurs quelconques de x appartenant à l'intervalle et ayant entre elles une différence moindre que tj, soit en valeur absolue moindre que e. En d'autres termes, sous la condition que x et x' appartiennent à l'intervalle et que Ton ait