Stolz, Arithmétique générale, vol. I, chap. ix
on doit avoir, si la fonction f(x) est continue :
\r(x) -r^Kt.1»
C'est ce qu'on exprime couramment en disant qu'à une variation infiniment petite de la variable doit correspondre une variation infiniment petite de la fonction *.
5. Définition. — t Si une fonction f(x) est définie dans l'intervalle (a, 6), on dira qu'elle est continue pour une valeur X appartenant à l'intervalle (a, b), si à chaque nombre positif 6 correspond un nombre positif tj tel que, sous la condition que x appartienne à l'intervalle et diffère de X d'une quantité moindre que tj :
on ait :
ir(i)-rwi<«.»»
Théorème. — « Si une fonction est continue dans un intervalle [4], clic est continue, au sens qui vient d'être précisé, pour chaque valeur de x qui appartient à cet intervalle. »
En effet, il suffit de remplacer, dans la première définition, la valeur variable x par la valeur fixe X pour en déduire la seconde définition.
Réciproquement, on démontre que, si une fonction est continue pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle (a, 6) [au sens de la définition 51, elle est continue dans cet intervalle [au sens de la définition 4) 4.
6. Théorème. — t Si une fonction f (x) définie dans l'intervalle (a, 6) est continue pour la valeur X appartenant à cet intervalle, et si l'on considère en outre la suite infinie de valeurs :
(1) xli XH Xn,
appartenant aussi à l'intervalle et ayant pour limite X, la suite infinie :
(2) f(*|), A*t), f(Xn),
aura pour limite f (X). » Il suffit pour s'en convaincre de rapprocher la définition 5 et la définition de la limite d'une suite [\n P., I, iv, 17].
« Réciproquement , si, quelle que soit la suite (1) ayant pour limite X, la suite correspondante (2) a pour limite f (X), la fonction considérée est continue pour la valeur X. 5 »
7. On est ainsi amené à généraliser la notion de limité. Puisque dans l'hypothèse énoncée la suite (1) peut être quelconque, pourvu que ses termes appartiennent à l'intervalle (a, 6) et aient pour limite X, on peut dire, sans spécifier la suite des valeurs Xu ar2,.... a?„,.... par lesquelles x tend vers X :
